Marcos sabe que uma Progressão Geométrica tem como razão 8 e que o primeiro termo é 2 e o último é 1024. Ele quer determinar quantos termos possui essa PG. Portanto, o número de termos dessa PG é de
(A) 3 .
(B) 6 .
(C) 5 .
(D) 4 .
(A) 3 .
(B) 6 .
(C) 5 .
(D) 4 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantos termos tem uma Progressão Geométrica (PG) sabendo que o primeiro termo é
, a razão é
e o último termo vale
. Informações dadas:
- Primeiro termo:
. - Razão:
. - Último termo (que é algum
): .
A pergunta explícita: “Qual é o número de termos dessa PG?” — isto é, descobrir.
Passo 2
Fórmula que vamos usar: o termo geral (ou n-ésimo termo) de uma PG é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o termo na posição (aqui é o último termo, ). -
é o primeiro termo (aqui ). -
é a razão da PG (aqui ). -
é o número de termos que queremos encontrar.
Essa fórmula vem da definição: multiplica-sepor para obter , por para , e assim por diante; em geral o fator é .
Passo 3
Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Essa é a equação que resolve
.
Passo 4
Para resolver potências é útil escrever os números como potências da mesma base. Observações:
-
porque . -
porque .
Vou usar essas igualdades para reescrever a equação com base.
Passo 5
Substituindo
na equação:
Agora usamos a propriedade de potências
. Assim
. Então a equação fica
Passo 6
Multiplicação de potências de mesma base:
. Portanto
Como as duas potências têm a mesma base
, os expoentes devem ser iguais:
Agora resolvo essa equação para
:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 7
Interpretação final: a PG com
,
atinge o termo
exatamente no quarto termo. Portanto o número de termos é
. Força aí — já era!
Resposta
(D)