Marcos sabe que uma Progressão Geométrica tem como razão 8 e que o primeiro termo é 2 e o último é 1024. Ele quer determinar quantos termos possui essa PG. Portanto, o número de termos dessa PG é de
(A) 3 .
(B) 6 .
(C) 5 .
(D) 4 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos termos tem uma Progressão Geométrica (PG) sabendo que o primeiro termo é 2, a razão é 8 e o último termo vale 1024. Informações dadas:
  • Primeiro termo: a_1 = 2.
  • Razão: r = 8.
  • Último termo (que é algum a_n): a_n = 1024.
    A pergunta explícita: “Qual é o número de termos dessa PG?” — isto é, descobrir n.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o termo geral (ou n-ésimo termo) de uma PG é dado por
a_n = a_1 \, r^{\,n-1}.
Explicando cada símbolo:
  • a_n é o termo na posição n (aqui é o último termo, 1024).
  • a_1 é o primeiro termo (aqui 2).
  • r é a razão da PG (aqui 8).
  • n é o número de termos que queremos encontrar.
    Essa fórmula vem da definição: multiplica-se a_1 por r para obter a_2, por r^2 para a_3, e assim por diante; em geral o fator é r^{n-1}.

Passo 3

Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula:
1024 = 2 \cdot 8^{\,n-1}.
Essa é a equação que resolve n.

Passo 4

Para resolver potências é útil escrever os números como potências da mesma base. Observações:
  • 8 = 2^3 porque 2^3 = 8.
  • 1024 = 2^{10} porque 2^{10} = 1024.
    Vou usar essas igualdades para reescrever a equação com base 2.

Passo 5

Substituindo 8 = 2^3 na equação:
1024 = 2 \cdot (2^3)^{\,n-1}.
Agora usamos a propriedade de potências (a^b)^c = a^{bc}. Assim (2^3)^{\,n-1} = 2^{3(n-1)}. Então a equação fica
2^{10} = 2 \cdot 2^{3(n-1)}.

Passo 6

Multiplicação de potências de mesma base: 2 \cdot 2^{3(n-1)} = 2^{1} \cdot 2^{3(n-1)} = 2^{\,1 + 3(n-1)}. Portanto
2^{10} = 2^{\,1 + 3(n-1)}.
Como as duas potências têm a mesma base 2, os expoentes devem ser iguais:
10 = 1 + 3(n-1).
Agora resolvo essa equação para n:
10 = 1 + 3n - 3 \quad\Rightarrow\quad 10 = 3n - 2.
Somando 2 aos dois lados:
12 = 3n.
Dividindo por 3:
n = 4.

Passo 7

Interpretação final: a PG com a_1=2, r=8 atinge o termo 1024 exatamente no quarto termo. Portanto o número de termos é 4. Força aí — já era!

Resposta

(D) 4

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