Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com rho(X, Y)=E[(X-E[X])raizVar(X) (Y-E[Y])raizVar(Y)] . Definimos o índice de correlação entre X e Y por
-1 <= rho(X, Y) <= 1
O índice correlação tem a seguinte propriedade
rho(X, Y)=Cov(X, Y)raizVar(X) raizVar(Y)
Mostre que

Passo 1

O enunciado define o índice de correlação como
rho(X,Y)=Egl[X-E[X]raizVar(X),Y-E[Y]raizVar(Y)gr]
e pede para mostrar que isso equivale a
Cov(X,Y)raizVar(X),raizVar(Y)
Vamos usar as definições de variância e covariância para fazer essa conexão.

Passo 2

Partindo da definição de covariância,
Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])],
podemos reescrever o índice de correlação puxando os fatores constantes para fora da esperança, pois raizVar(X) e raizVar(Y) não dependem de X,Y.

Passo 3

Escrevendo então
rho(X,Y)=1raizVar(X),raizVar(Y);E[(X-E[X])(Y-E[Y])],
vemos que a expectativa no numerador é exatamente Cov(X,Y).

Passo 4

Substituindo, concluímos
rho(X,Y)=Cov(X,Y)raizVar(X),raizVar(Y)

Resposta

rho(X,Y)=Cov(X,Y)raizVar(X),raizVar(Y)

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