Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos o índice de correlação entre X e Y por
O índice correlação tem a seguinte propriedade
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o índice de correlação como
e pede para mostrar que isso equivale a
Vamos usar as definições de variância e covariância para fazer essa conexão.
Passo 2
Partindo da definição de covariância,
podemos reescrever o índice de correlação puxando os fatores constantes para fora da esperança, pois
Passo 3
Escrevendo então
vemos que a expectativa no numerador é exatamente
Passo 4
Substituindo, concluímos