Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13 , isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas maneiras Maria pode escolher uma senha de 4 dígitos sujeita a estas condições:
  • Apenas os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados.
  • Um mesmo algarismo pode repetir-se quantas vezes quiser.
  • A senha não pode conter a sequência 13 (isto é, o algarismo 1 imediatamente seguido pelo algarismo 3) em nenhuma posição.
Informações relevantes obtidas do enunciado:
  • Comprimento da senha: 4 dígitos.
  • Alfabeto disponível: \{1,2,3,4,5\} (tamanho 5).
  • Proibição: a substring 13 não pode aparecer em posições (1,2), (2,3) ou (3,4).

Passo 2

Primeiro conte quantas senhas existem sem nenhuma restrição (apenas para ter a base de comparação).
Cada posição tem 5 opções independentemente, e são 4 posições, logo o total sem restrição é
5^4.
Expliquei por que: quando escolhas são independentes e cada uma tem m opções, o número total de sequências de comprimento n é m^n. Aqui m=5 e n=4.

Passo 3

Agora vamos contar quantas senhas são proibidas, ou seja, que contêm a substring 13 pelo menos uma vez. Depois subtraímos desse total para obter as senhas permitidas.
Uma maneira direta e segura para isso é usar o princípio da inclusão-exclusão: contamos quantas senhas têm 13 na posição (1,2), quantas na posição (2,3), quantas na posição (3,4), somamos, subtraímos as interseções duplas (senhas que têm 13 em duas posições diferentes), e somamos a interseção tripla se houver.

Passo 4

Defina os eventos:
  • A_1 = conjunto de senhas com 13 em (1,2).
  • A_2 = conjunto de senhas com 13 em (2,3).
  • A_3 = conjunto de senhas com 13 em (3,4).
Calcule |A_1|: fixando posições 1 e 2 como 1 e 3 respectivamente, as posições 3 e 4 são livres, cada uma com 5 opções, então
|A_1| = 5^2.
O mesmo raciocínio vale para |A_2| e |A_3|, pois em cada caso fixamos duas posições consecutivas e as outras duas ficam livres. Assim
|A_1| = |A_2| = |A_3| = 5^2.
Observação didática: aqui usei a regra do produto novamente — após fixar alguns dígitos, as posições restantes independentes geram multiplicação das opções.

Passo 5

Agora as interseções duplas:
  • A_1 \cap A_2: isso exigiria que as posições 1,2,3 fossem simultaneamente 1,3 (para A_1) e 1,3 (para A_2 em 2,3). Para que A_2 ocorra precisamos de posição 2=1 e posição 3=3; já A_1 pede posição 2=3. Isso dá um conflito (posição 2 teria de ser 1 e 3 ao mesmo tempo), logo
|A_1 \cap A_2| = 0.
  • Pela mesma razão, A_2 \cap A_3 também é impossível (conflito na posição 3), logo
|A_2 \cap A_3| = 0.
  • A_1 \cap A_3: aqui as ocorrências são em posições disjuntas (1,2) e (3,4). Para isso precisamos que a senha seja exatamente 1,3,1,3, ou seja há exatamente 1 sequência que satisfaz ambas. Portanto
|A_1 \cap A_3| = 1.

Passo 6

Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para contar quantas senhas têm pelo menos uma ocorrência de 13:
|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - \big(|A_1\cap A_2| + |A_1\cap A_3| + |A_2\cap A_3|\big) + |A_1\cap A_2\cap A_3|.
Substituindo os valores encontrados:
|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3\cdot 5^2 - (0 + 1 + 0) + 0.
Expliquei cada termo: somamos os casos simples, subtraímos interseções duplas que foram contadas duas vezes, e adicionamos a interseção tripla se existisse (aqui é zero).

Passo 7

Calculamos explicitamente o número de senhas proibidas (a expressão do passo anterior simplificada):
|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3\cdot 5^2 - 1.
Isso nos dá o total de senhas que contêm a substring 13 pelo menos uma vez.

Passo 8

Finalmente, o número de senhas permitidas (sem a substring 13) é o total sem restrição menos as proibidas. Escrevemos isso symbolicamente para não repetir a resposta final fora da seção de resposta:
\text{senhas permitidas} = 5^4 - \big(3\cdot 5^2 - 1\big).
Breve comentário pedagógico: a ideia é sempre tentar contar o total e eliminar as configurações proibidas, mas atenção às interseções quando a proibição pode ocorrer em várias posições — por isso a inclusão-exclusão é útil. Se preferir um método alternativo, dá para modelar isso por um pequeno autômato/recorrência que conta sequências sem atingir a substring proibida; esse método leva ao mesmo resultado.

Resposta

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