Simular manualmente este problema para 15 clientes, considerando o TDC, TSF1 e TSF2 fornecidos.
Tabela 1 - Tempo de Chegadas (TDC)
TDC1 Probabilidade
1 0,4
2 0,3
3 0,2
4 0,1
Tabela 2 - Tempo de Serviço dos Funcionários (TSF)
Funcionário 1 Funcionário 2
TS Probabilidade TS Probabilidade
2 0,15 3 0,1
3 0,25 4 0,25
4 0,25 5 0,25
5 0,35 6 0,4

Passo 1

O que o problema pede e quais dados são fornecidos.\n
  • Pedir: simular manualmente o atendimento de 15 clientes usando as distribuições dadas para tempo entre chegadas (TDC) e tempo de serviço dos dois funcionários (TSF1 e TSF2). A simulação deve mostrar, cliente a cliente, os tempos de chegada, início do atendimento, tempo de serviço, término do atendimento e tempo de espera na fila; ao final, extrair medidas de desempenho (tempos médios, utilização, probabilidade de espera, etc.).\n
  • Dados fornecidos (peguei-os da Tabela 1 e Tabela 2 do enunciado):\n
    • TDC (tempo entre chegadas):\n \begin{array}{c|c} \text{TDC} & \text{Probabilidade} \\hline 1 & 0{,}4\\\\ 2 & 0{,}3\\\\ 3 & 0{,}2\\\\ 4 & 0{,}1 \end{array}\n
    • TSF do Funcionário 1 (TSF1):\n \begin{array}{c|c} \text{TS (min)} & \text{Probabilidade} \\hline 2 & 0{,}15\\\\ 3 & 0{,}25\\\\ 4 & 0{,}25\\\\ 5 & 0{,}35 \end{array}\n
    • TSF do Funcionário 2 (TSF2):\n \begin{array}{c|c} \text{TS (min)} & \text{Probabilidade} \\hline 3 & 0{,}1\\\\ 4 & 0{,}25\\\\ 5 & 0{,}25\\\\ 6 & 0{,}4 \end{array}\n
  • Pressuposições de simulação (decididas por mim sem pedir informação adicional):\n
    • O relógio começa em 0 e o primeiro cliente chega após o primeiro TDC. \n - Há dois servidores (Funcionário 1 e Funcionário 2) operando em paralelo. \n - Política de escalonamento: cada cliente, ao chegar, é direcionado ao servidor que estiver livre no momento; se ambos estiverem livres no instante de chegada, atribuí ao Funcionário 1 (regra de desempate). Se ambos estiverem ocupados, o cliente espera até que o primeiro servidor livre termine (se empatar, atribuo ao Funcionário 1). \n - Usarei correntes de números aleatórios independentes: uma para TDC, uma para TSF1 e outra para TSF2 (prática padrão em simulação manual).

Passo 2

Como vamos simular passo a passo (metodologia) — aula rápida e prática.\n
  • Ideia: usar números aleatórios uniformes U(0,1) e transformá-los em valores discretos conforme as probabilidades cumulativas. Esse é o mapeamento mais simples e robusto para simulação manual.\n
  • Como mapear: construir as probabilidades cumulativas para cada variável e associar intervalos de U a cada valor possível. Exemplo genérico: se P(X=1)=0{,}4 e P(X=2)=0{,}3, então U\le 0{,}4\Rightarrow X=1, 0{,}4< U\le 0{,}7\Rightarrow X=2, e assim por diante.\n
  • Streams (correntes): vou usar três sequências independentes de números U:\n
    • Stream A: para TDC (15 números). \n - Stream S1: para TSF1 (quando um cliente for atendido pelo Funcionário 1, consome o próximo número desta stream). \n - Stream S2: para TSF2 (idem para Funcionário 2). \n
  • Regra de operação quando o cliente chega no tempo t:\n - Se algum servidor estiver livre em t (ou antes), o cliente inicia serviço imediatamente nesse servidor livre. \n - Se ambos ocupados, o cliente inicia serviço no momento em que o primeiro servidor se libera. \n - Tempo de espera = início do serviço - chegada. \n - Término = início \,+ tempo de serviço. \n
  • Observação pedagógica: sempre registre para cada cliente: número do cliente, TDC usado, tempo de chegada, servidor atribuído, U usado para o TS do servidor, TS gerado, início do serviço, término do serviço, tempo de espera. Isso garante rastreabilidade e permite checar a simulação.

Passo 3

Construção das tabelas de mapeamento (probabilidades cumulativas) — explicando cada variável matematicamente.\n
  • Para TDC: as probabilidades cumulativas são\n \begin{aligned} P(\text{TDC}\le 1) &= 0{,}4,\\\ P(\text{TDC}\le 2) &= 0{,}4+0{,}3=0{,}7,\\\ P(\text{TDC}\le 3) &= 0{,}7+0{,}2=0{,}9,\\\ P(\text{TDC}\le 4) &= 1{,}0. \end{aligned}\nEntão o mapeamento é: U\le 0{,}4\Rightarrow TDC=1 ; 0{,}4< U\le 0{,}7\Rightarrow \text{TDC}=2; 0{,}7< U\le 0{,}9\Rightarrow \text{TDC}=3; 0{,}9< U\le 1{,}0\Rightarrow \text{TDC}=4.\n
  • Para TSF1: probabilidades cumulativas\n \begin{aligned} P(\text{TSF1}\le 2) &= 0{,}15,\\\ P(\text{TSF1}\le 3) &= 0{,}15+0{,}25=0{,}4,\\\ P(\text{TSF1}\le 4) &= 0{,}4+0{,}25=0{,}65,\\\ P(\text{TSF1}\le 5) &= 1{,}0. \end{aligned}\nMapeamento: U\le 0{,}15\Rightarrow 2; 0{,}15< U\le 0{,}4\Rightarrow 3; 0{,}4< U\le 0{,}65\Rightarrow 4; 0{,}65< U\le 1{,}0\Rightarrow 5.\n
  • Para TSF2: probabilidades cumulativas\n \begin{aligned} P(\text{TSF2}\le 3) &= 0{,}1,\\\ P(\text{TSF2}\le 4) &= 0{,}1+0{,}25=0{,}35,\\\ P(\text{TSF2}\le 5) &= 0{,}35+0{,}25=0{,}6,\\\ P(\text{TSF2}\le 6) &= 1{,}0. \end{aligned}\nMapeamento: U\le 0{,}1\Rightarrow 3; 0{,}1< U\le 0{,}35\Rightarrow 4; 0{,}35< U\le 0{,}6\Rightarrow 5; 0{,}6< U\le 1{,}0\Rightarrow 6.

Passo 4

Escolha das sequências de números aleatórios (decidi estes U arbitrariamente para a simulação manual; cada U está em (0,1)). Vou mostrar cada stream e o mapeamento para valores discretos.\n
  • Stream A (TDC) — 15 valores U_A:\n 0{,}12,\;0{,}39,\;0{,}65,\;0{,}88,\;0{,}03,\;0{,}47,\;0{,}73,\;0{,}95,\;0{,}56,\;0{,}21,\;0{,}81,\;0{,}34,\;0{,}99,\;0{,}58,\;0{,}14\nAplicando o mapeamento da Passo 3, obtemos os TDCs:\n \begin{array}{c|c} U_A & \text{TDC}\\hline 0{,}12 & 1\\\\ 0{,}39 & 1\\\\ 0{,}65 & 2\\\\ 0{,}88 & 3\\\\ 0{,}03 & 1\\\\ 0{,}47 & 2\\\\ 0{,}73 & 3\\\\ 0{,}95 & 4\\\\ 0{,}56 & 2\\\\ 0{,}21 & 1\\\\ 0{,}81 & 3\\\\ 0{,}34 & 1\\\\ 0{,}99 & 4\\\\ 0{,}58 & 2\\\\ 0{,}14 & 1 \end{array}\nPortanto os tempos entre chegadas (em minutos) para os clientes 1) a 15) são:\n 1,\;1,\;2,\;3,\;1,\;2,\;3,\;4,\;2,\;1,\;3,\;1,\;4,\;2,\;1.\n
  • Stream S1 (TSF1) — 15 valores U_{S1}:\n 0{,}11,\;0{,}33,\;0{,}79,\;0{,}52,\;0{,}26,\;0{,}90,\;0{,}41,\;0{,}06,\;0{,}68,\;0{,}37,\;0{,}22,\;0{,}84,\;0{,}49,\;0{,}15,\;0{,}58\nMapeando com o TSF1:\n \begin{array}{c|c} U_{S1} & \text{TSF1 (min)}\\hline 0{,}11 & 2\\\\ 0{,}33 & 3\\\\ 0{,}79 & 5\\\\ 0{,}52 & 4\\\\ 0{,}26 & 3\\\\ 0{,}90 & 5\\\\ 0{,}41 & 4\\\\ 0{,}06 & 2\\\\ 0{,}68 & 5\\\\ 0{,}37 & 3\\\\ 0{,}22 & 3\\\\ 0{,}84 & 5\\\\ 0{,}49 & 4\\\\ 0{,}15 & 2\\\\ 0{,}58 & 4 \end{array}\n(vou consumir estes U_{S1} sequencialmente sempre que um cliente for atendido pelo Funcionário 1).\n
  • Stream S2 (TSF2) — 15 valores U_{S2}:\n 0{,}09,\;0{,}45,\;0{,}62,\;0{,}28,\;0{,}95,\;0{,}14,\;0{,}36,\;0{,}51,\;0{,}77,\;0{,}31,\;0{,}58,\;0{,}85,\;0{,}20,\;0{,}40,\;0{,}69\nMapeando com o TSF2:\n \begin{array}{c|c} U_{S2} & \text{TSF2 (min)}\\hline 0{,}09 & 3\\\\ 0{,}45 & 5\\\\ 0{,}62 & 6\\\\ 0{,}28 & 4\\\\ 0{,}95 & 6\\\\ 0{,}14 & 4\\\\ 0{,}36 & 5\\\\ 0{,}51 & 5\\\\ 0{,}77 & 6\\\\ 0{,}31 & 4\\\\ 0{,}58 & 5\\\\ 0{,}85 & 6\\\\ 0{,}20 & 4\\\\ 0{,}40 & 5\\\\ 0{,}69 & 6 \end{array}\n(idem: consumiremos os U_{S2} sequencialmente sempre que for necessário o TS do Funcionário 2).

Passo 5

Cálculo dos tempos de chegada (épocas) cumulativas — explicando o cálculo passo a passo.\n
  • Regra: o tempo de chegada do cliente i é a soma cumulativa dos TDCs dos clientes 1 até i. Isto é, se A_i é a hora de chegada do cliente i e I_i é o TDC do cliente i, então\n A_1 = I_1,\qquad A_i = A_{i-1}+I_i\text{ para }i\ge2.\n
  • Aplicando aos TDCs gerados (1,1,2,3,1,2,3,4,2,1,3,1,4,2,1):\n \begin{array}{c|c} \text{Cliente }i & A_i \text{ (min)}\\hline 1 & 1\\\\ 2 & 1+1=2\\\\ 3 & 2+2=4\\\\ 4 & 4+3=7\\\\ 5 & 7+1=8\\\\ 6 & 8+2=10\\\\ 7 & 10+3=13\\\\ 8 & 13+4=17\\\\ 9 & 17+2=19\\\\ 10 & 19+1=20\\\\ 11 & 20+3=23\\\\ 12 & 23+1=24\\\\ 13 & 24+4=28\\\\ 14 & 28+2=30\\\\ 15 & 30+1=31 \end{array}

Passo 6

Simulação cliente a cliente — Cliente 1.\n
  • Chegada: A_1=1. Ambos servidores livres em 0. Regra de desempate: se ambos livres, atribuir ao Funcionário 1.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}11\Rightarrow \text{TS}=2 minutos (veja tabela do Stream S1). \n- Início do serviço: \max(A_1,\text{liberdade do S1})=\max(1,0)=1.\n- Término: 1+2=3.\n- Espera na fila: 1-1=0.\n- Atualizo: S1 fica ocupado até 3; S2 livre até 0.

Passo 7

Simulação cliente a cliente — Cliente 2.\n
  • Chegada: A_2=2. No instante 2: S1 livre em 3 (ocupado), S2 livre em 0 (livre). Logo S2 disponível imediatamente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}09\Rightarrow \text{TS}=3 minutos.\n- Início do serviço: \max(2,0)=2.\n- Término: 2+3=5.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 ocupado até 5; S1 continua até 3.

Passo 8

Simulação cliente a cliente — Cliente 3.\n
  • Chegada: A_3=4. No instante 4: S1 livre em 3 (livre), S2 livre em 5 (ocupado). Portanto S1 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome próximo U_{S1}=0{,}33\Rightarrow \text{TS}=3.\n- Início: \max(4,3)=4.\n- Término: 4+3=7.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S1 ocupado até 7; S2 até 5.

Passo 9

Simulação cliente a cliente — Cliente 4.\n
  • Chegada: A_4=7. No instante 7: S1 livre em 7 (libera exatamente nesse instante), S2 livre em 5 (livre). Ambos livres no instante de chegada; desempate atribui ao S1.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}79\Rightarrow \text{TS}=5.\n- Início: \max(7,7)=7.\n- Término: 7+5=12.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S1 até 12; S2 até 5.

Passo 10

Simulação cliente a cliente — Cliente 5.\n
  • Chegada: A_5=8. No instante 8: S1 livre em 12 (ocupado), S2 livre em 5 (livre). Logo S2 recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}45\Rightarrow \text{TS}=5.\n- Início: \max(8,5)=8.\n- Término: 8+5=13.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 até 13.

Passo 11

Simulação cliente a cliente — Cliente 6.\n
  • Chegada: A_6=10. No instante 10: S1 livre em 12 (ocupado), S2 livre em 13 (ocupado). Ambos ocupados. O primeiro que ficará livre é S1 em 12 (mais cedo que 13), logo o cliente espera até 12 e é atendido por S1.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}52\Rightarrow \text{TS}=4.\n- Início: 12 (primeiro instante em que S1 libera).\n- Término: 12+4=16.\n- Espera: 12-10=2 minutos.\n- Atualizo: S1 até 16; S2 até 13.

Passo 12

Simulação cliente a cliente — Cliente 7.\n
  • Chegada: A_7=13. No instante 13: S1 livre em 16 (ocupado), S2 livre em 13 (libera exatamente agora). S2 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}62\Rightarrow \text{TS}=6.\n- Início: \max(13,13)=13.\n- Término: 13+6=19.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 até 19.

Passo 13

Simulação cliente a cliente — Cliente 8.\n
  • Chegada: A_8=17. No instante 17: S1 livre em 16 (livre), S2 livre em 19 (ocupado). Logo S1 recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}26\Rightarrow \text{TS}=3.\n- Início: \max(17,16)=17.\n- Término: 17+3=20.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S1 até 20.

Passo 14

Simulação cliente a cliente — Cliente 9.\n
  • Chegada: A_9=19. No instante 19: S1 livre em 20 (ocupado), S2 livre em 19 (libera agora). S2 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}28\Rightarrow \text{TS}=4.\n- Início: 19.\n- Término: 19+4=23.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 até 23.

Passo 15

Simulação cliente a cliente — Cliente 10.\n
  • Chegada: A_{10}=20. No instante 20: S1 livre em 20 (libera agora), S2 livre em 23 (ocupado). S1 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}90\Rightarrow \text{TS}=5.\n- Início: 20.\n- Término: 20+5=25.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S1 até 25.

Passo 16

Simulação cliente a cliente — Cliente 11.\n
  • Chegada: A_{11}=23. No instante 23: S1 livre em 25 (ocupado), S2 livre em 23 (libera agora). S2 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}95\Rightarrow \text{TS}=6.\n- Início: 23.\n- Término: 23+6=29.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 até 29.

Passo 17

Simulação cliente a cliente — Cliente 12.\n
  • Chegada: A_{12}=24. No instante 24: S1 livre em 25 (ocupado), S2 livre em 29 (ocupado). Ambos ocupados; o primeiro a liberar é S1 em 25. Então o cliente espera até 25 e é atendido por S1.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}41\Rightarrow \text{TS}=4.\n- Início: 25.\n- Término: 25+4=29.\n- Espera: 25-24=1 minuto.\n- Atualizo: S1 até 29 (agora S1 e S2 livres em 29 ao mesmo tempo).

Passo 18

Simulação cliente a cliente — Cliente 13.\n
  • Chegada: A_{13}=28. No instante 28: S1 livre em 29 (ocupado), S2 livre em 29 (ocupado). Ambos ocupados e liberam ao mesmo tempo em 29. Por minha regra de empate, se ambos liberam ao mesmo tempo o cliente vai para S1.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}06\Rightarrow \text{TS}=2.\n- Início: 29 (quando S1 libera).\n- Término: 29+2=31.\n- Espera: 29-28=1 minuto.\n- Atualizo: S1 até 31; S2 permanece até 29 (já liberado).

Passo 19

Simulação cliente a cliente — Cliente 14.\n
  • Chegada: A_{14}=30. No instante 30: S1 livre em 31 (ocupado), S2 livre em 29 (livre). Logo S2 recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 2. Consome U_{S2}=0{,}14\Rightarrow \text{TS}=4.\n- Início: \max(30,29)=30.\n- Término: 30+4=34.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S2 até 34.

Passo 20

Simulação cliente a cliente — Cliente 15.\n
  • Chegada: A_{15}=31. No instante 31: S1 livre em 31 (libera agora), S2 livre em 34 (ocupado). S1 livre e recebe o cliente.\n- Atribuído: Funcionário 1. Consome U_{S1}=0{,}68\Rightarrow \text{TS}=5.\n- Início: 31.\n- Término: 31+5=36.\n- Espera: 0.\n- Atualizo: S1 até 36.

Passo 21

Resumo dos resultados cliente a cliente (tabela condensada) e cálculo das métricas de desempenho explicadas.\n
  • Tabela condensada (cada linha: Cliente i — Chegada A_i — Servidor — Início — TS — Término — Espera). Todos os números estão em minutos e extraídos dos passos anteriores:\n \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} i & A_i & \text{Servidor} & \text{Início} & \text{TS} & \text{Término} & \text{Espera}\\hline 1 & 1 & S1 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 2 & S2 & 2 & 3 & 5 & 0\\\\ 3 & 4 & S1 & 4 & 3 & 7 & 0\\\\ 4 & 7 & S1 & 7 & 5 & 12 & 0\\\\ 5 & 8 & S2 & 8 & 5 & 13 & 0\\\\ 6 & 10 & S1 & 12 & 4 & 16 & 2\\\\ 7 & 13 & S2 & 13 & 6 & 19 & 0\\\\ 8 & 17 & S1 & 17 & 3 & 20 & 0\\\\ 9 & 19 & S2 & 19 & 4 & 23 & 0\\\\ 10 & 20 & S1 & 20 & 5 & 25 & 0\\\\ 11 & 23 & S2 & 23 & 6 & 29 & 0\\\\ 12 & 24 & S1 & 25 & 4 & 29 & 1\\\\ 13 & 28 & S1 & 29 & 2 & 31 & 1\\\\ 14 & 30 & S2 & 30 & 4 & 34 & 0\\\\ 15 & 31 & S1 & 31 & 5 & 36 & 0 \end{array}íé\n
  • Verificações rápidas:\n - Último término do sistema é \max(36,34)=36 minutos (o sistema fechou para estes 15 clientes no tempo 36)).\n - Total de tempos de serviço processados por cada servidor (somando as TS usadas em cada servidor):\n \begin{aligned} \text{Total S1} &= 2+3+5+4+3+5+4+2+5 = 33\text{ minutos},\\\ \text{Total S2} &= 3+5+6+4+6+4 = 28\text{ minutos}. \end{aligned}\n - Total de tempo de serviço geral = 33+28=61 minutos.\n - Soma dos tempos de espera de todos os clientes = 2+1+1=4 minutos (clientes 6,12,13) aguardaram).\n - Número de clientes que esperaram > 0 = 3 . \n\n- Medidas de desempenho (fórmulas e cálculos):\n - Tempo médio de espera na fila:\n \overline{W}=\frac{\sum \text{esperas}}{15}=\frac{4}{15}\approx 0{,}2667\text{ min}.\n - Tempo médio no sistema (espera + serviço) por cliente:\n \overline{T}=\frac{\sum(\text{TS})+\sum(\text{esperas})}{15}=\frac{61+4}{15}=\frac{65}{15}\approx 4{,}3333\text{ min}.\n - Tempo médio de serviço por cliente:\n \overline{S}=\frac{61}{15}\approx 4{,}0667\text{ min}.\n - Probabilidade de que um cliente tenha que esperar (fração que esperaram):\n P(\text{espera})=\frac{3}{15}=0{,}2.\n - Utilização de cada servidor (busy time / horizonte de observação). Usei como horizonte o tempo final da simulação 36):\n \rho_{S1}=\frac{33}{36}\approx 0{,}9167\quad(\text{91,67\%}),\n \rho_{S2}=\frac{28}{36}\approx 0{,}7778\quad(\text{77,78\%}).\n\n- Observação didática: \rho alto indica servidores bastante ocupados durante este período de 15 clientes; com mais clientes a tendência poderia mudar, mas para essa amostra os servidores estiveram intensamente utilizados (especialmente S1).

Resposta

Tempo médio de espera na fila: \displaystyle \overline{W}=\frac{4}{15}\approx 0{,}2667 min\n
Tempo médio no sistema: \displaystyle \overline{T}=\frac{65}{15}\approx 4{,}3333 min\n
Tempo médio de serviço por cliente: \displaystyle \overline{S}=\frac{61}{15}\approx 4{,}0667 min\n
Probabilidade de espera: \displaystyle P(\text{espera})=\frac{3}{15}=0{,}2\n
Utilização S1: \displaystyle \rho_{S1}=\frac{33}{36}\approx 0{,}9167\n
Utilização S2: \displaystyle \rho_{S2}=\frac{28}{36}\approx 0{,}7778\n
Horário de término do último atendimento: \;36\; minutos

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