(PROGEP/2022 - FURG) Disciplinas com maior taxa de reprovação despendem uma atenção especial das Universidades Federais. Para mensurar a quantidade de turmas ofertadas para essas disciplinas, é de interesse das Universidades modelar a quantidade de vezes que cada aluno precisa se matricular na disciplina até sua aprovação.
Considerando que as chances de aprovação são iguais para todos os alunos, qual é o modelo probabilístico adequado a essa situação?
a) Binomial
b) Binomial hipergeométrica
c) Geométrica
d) Poisson
e) Hipergeométrica

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a gente quer modelar “quantas vezes um aluno precisa se matricular até conseguir ser aprovado” numa disciplina, sabendo que a chance de aprovação é sempre a mesma (digamos ).
Conteúdo: distribuições de probabilidade discreta, em especial o conceito de repetição de testes de Bernoulli (sucesso/insucesso) até obter o primeiro sucesso.
O que vamos precisar: entender o que são ensaios de Bernoulli, o que é a distribuição geométrica e comparar com outras distribuições clássicas (binomial, Poisson etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ensaio de Bernoulli:
  • É um experimento que resulta em “sucesso” (com probabilidade ) ou “insucesso” (com probabilidade ).
  • Se a gente repete esse experimento várias vezes e cada vez a probabilidade continua , falamos que são ensaios independentes de Bernoulli.
No nosso caso, cada matrícula é um ensaio de Bernoulli: “aprovado = sucesso” ou “reprovado = insucesso”, e as repetições são independentes com mesma probabilidade .

Passo 3

Agora, queremos contar quantos ensaios até o primeiro sucesso. Há uma distribuição própria pra isso, chamada distribuição geométrica.
  • Se P(X = k) ;=;(1-p)^,k-1,p é o número de tentativas até o primeiro sucesso, então para .
  • Isso bate direitinho com “quantas vezes se matricula até passar”.
As outras distribuições não se encaixam:
  • Binomial: conta número de sucessos em um número fixo de ensaios (não é “até o primeiro sucesso”).
  • Hipergeométrica e binomial hipergeométrica envolvem populações finitas sem reposição (não é nosso caso de ensaios independentes).
  • Poisson é pra número de eventos num intervalo contínuo/muito específico de contagem, não pra “tempo até…”.

Resposta

c) Geométrica

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