Marque as afirmativas verdadeiras:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a inequação $ |\tan x| \geq x $ para $ x > 0 $. Isso quer dizer que vamos verificar para quais valores positivos de $ x $ o valor absoluto da tangente de $ x $ é maior ou igual a $ x $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a tangente, e comparar com funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ \tan x $. Sabemos que a tangente de $ x $ tem um comportamento peculiar: ela se torna muito grande à medida que $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus) e é periódica com período $ \pi $. Além disso, a função $ \tan x $ é simétrica em relação à origem, o que justifica o uso do valor absoluto na inequação.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o lado direito da inequação, que é simplesmente $ x $. Essa é uma função linear que cresce de forma constante conforme $ x $ aumenta. Nosso objetivo é identificar onde o crescimento da tangente supera ou iguala o crescimento de $ x $.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a inequação sem o valor absoluto: $ \tan x \geq x $. Resolver exatamente isso pode ser complicado, então uma boa estratégia é analisar graficamente ou usar aproximações para determinar onde essa desigualdade é verdadeira.
Passo 5
Observando o comportamento das funções:
- Para $ x $ muito próximo de 0, $ \tan x $ é aproximadamente igual a $ x $, já que $ \tan x \approx x $ quando $ x $ é pequeno.
- Conforme $ x $ aumenta, $ \tan x $ cresce mais rapidamente do que $ x $, especialmente próximo de $ \frac{\pi}{2} $, onde $ \tan x $ tende ao infinito.
Passo 6
Considerando que estamos usando o valor absoluto, a inequação $ |\tan x| \geq x $ também se aplica para $ x < 0 $, mas como o enunciado restringe $ x > 0 $, vamos focar apenas nessa faixa.
Passo 7
Vamos verificar alguns pontos específicos:
- Em $ x = 0 $, $ \tan 0 = 0 $ e $ x = 0 $, então a desigualdade é igual.
- Em $ x = \frac{\pi}{4} $ (45 graus), $ \tan \frac{\pi}{4} = 1 $ e $ x \approx 0,785 $. Aqui, $ 1 \geq 0,785 $ é verdadeiro.
- Em $ x = \frac{\pi}{3} $ (60 graus), $ \tan \frac{\pi}{3} \approx 1,732 $ e $ x \approx 1,047 $. Novamente, $ 1,732 \geq 1,047 $ é verdadeiro.
- Próximo a $ \frac{\pi}{2} $, $ \tan x $ cresce muito rapidamente, tornando a desigualdade verdadeira.
Passo 8
Com base nessas observações, percebemos que para todo $ x > 0 $ no intervalo $ (0, \frac{\pi}{2}) $, a inequação $ |\tan x| \geq x $ é satisfeita. Além disso, devido à periodicidade da tangente, isso se repete a cada $ \pi $ unidades.
Passo 9
Resumindo, a inequação $ |\tan x| \geq x $ é verdadeira para todos os $ x > 0 $ que estão nos intervalos abertos $ (0, \frac{\pi}{2} + k\pi) $, onde $ k $ é um número inteiro.
Resposta
A inequação $ |\tan x| \geq x $ é verdadeira para todo $ x > 0 $ pertencente aos intervalos $ \left(0, \frac{\pi}{2} + k\pi\right) $, com $ k $ inteiro. Ou seja, sempre que $ x $ estiver próximo a $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, a desigualdade se mantém.