Marque a alternativa correta.
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V=-7,5 x^{2}+3 x, em que V está em Volts e x em metros. Nessa região, o campo elétrico é dado por
a) \vec{E}=(15 x-3) \hat{\imath}
b) \vec{E}=(-15 x+3) \hat{\imath}
c) \vec{E}=\left(-2,5 x^{3}+1,5 x^{2}\right) \hat{\imath}
d) \vec{E}=\left(2,5 x^{3}-1,5 x^{2}\right) \hat{\imath}
e) \vec{E}=0

Passo 1

O enunciado dá a expressão do potencial elétrico como \displaystyle V=-7,5\,x^{2}+3\,x, com V em volts e x em metros, e pede o campo elétrico na região. Informações relevantes:
  • Potencial: \displaystyle V(x)=-7,5\,x^{2}+3\,x.
  • Unidade de V: volts; unidade de x: metros.
  • Pergunta: qual é o vetor campo elétrico \vec{E} correspondente a esse potencial?

Passo 2

Fórmula que relaciona potencial elétrico e campo elétrico: \displaystyle \vec{E}=-\nabla V.
Expliquei isso com calma: o operador \nabla (gradiente) mede a taxa de variação espacial de V. Em uma situação unidimensional (dependência só de x), o gradiente fica só na direção x:
\nabla V=\frac{dV}{dx}\,\hat{\imath}.
Portanto, para este caso temos
\vec{E}=-\frac{dV}{dx}\,\hat{\imath}.
Unidade do campo: volts por metro ( \mathrm{V/m}). Aqui \hat{\imath} é o versor na direção x.

Passo 3

Agora calculamos a derivada \displaystyle \frac{dV}{dx}. Vou revisar a regra básica de derivação que usaremos: para um monômio a x^{n},
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\,n\,x^{\,n-1}.
Exemplo rápido: \displaystyle \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Aplicando isso termo a termo em \displaystyle V(x)=-7,5\,x^{2}+3\,x:
  • Para \displaystyle -7,5\,x^{2}: a derivada é \displaystyle -7,5\cdot 2\,x=-15\,x.
  • Para \displaystyle 3\,x: a derivada é \displaystyle 3.
    Somando os termos:
\frac{dV}{dx}=-15\,x+3.

Passo 4

Aplicando \displaystyle \vec{E}=-\frac{dV}{dx}\,\hat{\imath}, temos
\vec{E}=-\bigl(-15\,x+3\bigr)\,\hat{\imath}=\bigl(15\,x-3\bigr)\,\hat{\imath}.
Interpretação curta: o campo aponta na direção +\hat{\imath} quando 15x-3>0 (ou seja, x>0,2 m) e no sentido contrário quando x<0,2 m. A unidade é \mathrm{V/m}.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide com o resultado é a alternativa (a).

Resposta

a) \vec{E}=(15\,x-3)\,\hat{\imath}

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