Um pêndulo com comprimento de
é solto de um ângulo inicial de
. Após
, sua amplitude foi reduzida pelo atrito para
. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo de comprimento
que é solto de ângulo inicial
. Após
a amplitude foi reduzida pelo atrito para
. A pergunta é: determinar o valor de
.
Dados relevantes:
Passo 2
Modelo e ideia principal — por que usamos uma exponencial?
Para um pêndulo pequeno com atrito viscoso (pequeno ângulo), a amplitude das oscilações decresce exponencialmente com o tempo. Isso significa que a amplitude em qualquer tempo
pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude no instante ; -
é a amplitude inicial ( ); -
é a constante de tempo do decaimento (ainda a ser determinada).
Intuição rápida:é o tempo em que a amplitude cai para (~37%) de .
Passo 3
Isolando
a partir da fórmula exponencial.
Começamos com
Dividindo por
e aplicando o logaritmo natural:
Isolando
:
Passo 4
Observações úteis antes de calcular:
- As amplitudes estão em graus (
e ), mas a razão é adimensional, portanto unidades (graus) não importam — elas se cancelam. - Substituímos
, e .
Passo 5
Substituição e contas passo a passo:
Razão das amplitudes:
Logaritmo natural:
Usando a fórmula para
:
Cálculo numérico:
Passo 6
Arredondamento e interpretação final:
Com os algarismos significativos fornecidos (valores dados com tipicamente 2–3 algarismos significativos), podemos apresentar
com duas casas decimais:
Força: você já viu a ideia chave — amplitude exponencial e isolar
— e isso resolve esse tipo de exercício rapidinho numa prova.