Um pêndulo com comprimento de 1,00 \mathrm{~m} é solto de um ângulo inicial de 12^{\circ}. Após 1,00 \mathrm{~s}, sua amplitude foi reduzida pelo atrito para 7^{\circ}. Determine o valor de \tau.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo de comprimento 1,00\\ \mathrm{m} que é solto de ângulo inicial 12^\circ. Após 1,00\\ \mathrm{s} a amplitude foi reduzida pelo atrito para 7^\circ. A pergunta é: determinar o valor de \tau.
Dados relevantes:
A_0 = 12^\circ,\qquad A(1{,}00\\ \mathrm{s}) = 7^\circ,\qquad t = 1{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Modelo e ideia principal — por que usamos uma exponencial?
Para um pêndulo pequeno com atrito viscoso (pequeno ângulo), a amplitude das oscilações decresce exponencialmente com o tempo. Isso significa que a amplitude em qualquer tempo t pode ser escrita como
A(t)=A_0 e^{-t/\tau},
onde:
  • A(t) é a amplitude no instante t;
  • A_0 é a amplitude inicial ( t=0);
  • \tau é a constante de tempo do decaimento (ainda a ser determinada).
    Intuição rápida: \tau é o tempo em que a amplitude cai para 1/e (~37%) de A_0.

Passo 3

Isolando \tau a partir da fórmula exponencial.
Começamos com
A(t)=A_0 e^{-t/\tau}.
Dividindo por A_0 e aplicando o logaritmo natural:
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right)=-\frac{t}{\tau}.
Isolando \tau:
\tau = -\frac{t}{\ln\!\left(\dfrac{A(t)}{A_0}\right)}.

Passo 4

Observações úteis antes de calcular:
  • As amplitudes estão em graus ( 12^\circ e 7^\circ), mas a razão \dfrac{A(t)}{A_0} é adimensional, portanto unidades (graus) não importam — elas se cancelam.
  • Substituímos t=1{,}00\\ \mathrm{s}, A_0=12^\circ e A(1{,}00\\ \mathrm{s})=7^\circ.

Passo 5

Substituição e contas passo a passo:
Razão das amplitudes:
\frac{A(1{,}00)}{A_0}=\frac{7^\circ}{12^\circ}=\frac{7}{12}\approx 0{,}583333\ldots
Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{7}{12}\right)\approx -0{,}5389965.
Usando a fórmula para \tau:
\tau = -\frac{1{,}00}{\ln\!\left(\dfrac{7}{12}\right)}=\frac{1{,}00}{\ln\!\left(\dfrac{12}{7}\right)}.
Cálculo numérico:
\tau \approx \frac{1{,}00}{0{,}5389965}\approx 1{,}854\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
Com os algarismos significativos fornecidos (valores dados com tipicamente 2–3 algarismos significativos), podemos apresentar \tau com duas casas decimais:
\tau \approx 1{,}85\\ \mathrm{s}.
Força: você já viu a ideia chave — amplitude exponencial e isolar \tau — e isso resolve esse tipo de exercício rapidinho numa prova.

Resposta

\tau = 1{,}85\\ \mathrm{s}

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