Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Um vetor não nulo não pode estar associado a dois autovalores diferentes de una matriz quadrada A.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque Verdadeira ou Falsa a afirmação e a justifique. A afirmação é:
“Um vetor não nulo não pode estar associado a dois autovalores diferentes de uma matriz quadrada A.”
Informações dadas que vou usar:
  • A é uma matriz quadrada (coeficientes em algum corpo, por ex. \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • Trata-se de um vetor não nulo (vou chamar esse vetor de v).
  • A afirmação refere-se a “estar associado a dois autovalores diferentes”, ou seja, existir dois escalares distintos \lambda e \mu tais que v seja autovetor tanto de \lambda quanto de \mu.

Passo 2

Definição e notações (passo didático; explicando cada símbolo):
  • Dizemos que v é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda quando v é um vetor não nulo e
A v = \lambda v.
Aqui A v é a multiplicação da matriz A pelo vetor v, \lambda é um escalar (número) e \lambda v é o vetor v multiplicado por esse escalar.
  • Importante: o vetor nulo 0 satisfaz A0=\lambda 0 para qualquer \lambda, por isso o vetor nulo não é considerado autovetor. A hipótese do enunciado exclui o caso v=0.

Passo 3

Prova algébrica direta (mostrando o porquê formal):
Suponha, para tentar contradizer a afirmação, que exista um vetor não nulo v e dois autovalores \lambda e \mu distintos tais que v seja autovetor correspondente a ambos. Então temos simultaneamente
A v = \lambda v
e
A v = \mu v.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
0 = \lambda v - \mu v = (\lambda - \mu)v.
Logo
(\lambda - \mu)v = 0.

Passo 4

Conclusão do argumento usando propriedades do corpo dos escalares:
  • O produto de um escalar por um vetor é o vetor nulo precisamente quando o escalar é 0 ou o vetor é o vetor nulo.
  • Como v é não nulo por hipótese, a única possibilidade para (\lambda-\mu)v=0 é que \lambda-\mu=0.
  • Assim \lambda=\mu.
Portanto a hipótese de que \lambda e \mu são distintos leva a contradição; não existe vetor não nulo que seja autovetor de dois autovalores diferentes.

Passo 5

Comentário intuitivo e observação final:
Intuitivamente, um autovetor indica uma direção que a transformação linear A apenas estica/encolhe (ou inverte) pelo fator \lambda. Uma mesma direção não pode ser esticada por dois fatores diferentes ao mesmo tempo, salvo se a direção for nula. Por isso o resultado é geral e vale independentemente da matriz A (desde que trabalhe-se num corpo usual como \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados