Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Um vetor não nulo não pode estar associado a dois autovalores diferentes de una matriz quadrada
.
Um vetor não nulo não pode estar associado a dois autovalores diferentes de una matriz quadrada
Passo 1
O enunciado pede que eu marque Verdadeira ou Falsa a afirmação e a justifique. A afirmação é:
“Um vetor não nulo não pode estar associado a dois autovalores diferentes de uma matriz quadrada
.”
Informações dadas que vou usar:
-
é uma matriz quadrada (coeficientes em algum corpo, por ex. ou ). - Trata-se de um vetor não nulo (vou chamar esse vetor de
). - A afirmação refere-se a “estar associado a dois autovalores diferentes”, ou seja, existir dois escalares distintos
e tais que seja autovetor tanto de quanto de .
Passo 2
Definição e notações (passo didático; explicando cada símbolo):
- Dizemos que
é um autovetor de associado ao autovalor quando é um vetor não nulo e
Aqui
é a multiplicação da matriz
pelo vetor
,
é um escalar (número) e
é o vetor
multiplicado por esse escalar.
- Importante: o vetor nulo
satisfaz para qualquer , por isso o vetor nulo não é considerado autovetor. A hipótese do enunciado exclui o caso .
Passo 3
Prova algébrica direta (mostrando o porquê formal):
Suponha, para tentar contradizer a afirmação, que exista um vetor não nulo e dois autovalores
e
distintos tais que
seja autovetor correspondente a ambos. Então temos simultaneamente
Suponha, para tentar contradizer a afirmação, que exista um vetor não nulo
e
Subtraindo as duas igualdades obtemos
Logo
Passo 4
Conclusão do argumento usando propriedades do corpo dos escalares:
- O produto de um escalar por um vetor é o vetor nulo precisamente quando o escalar é
ou o vetor é o vetor nulo. - Como
é não nulo por hipótese, a única possibilidade para é que . - Assim
.
Portanto a hipótese de que
e
são distintos leva a contradição; não existe vetor não nulo que seja autovetor de dois autovalores diferentes.
Passo 5
Comentário intuitivo e observação final:
Intuitivamente, um autovetor indica uma direção que a transformação linear apenas estica/encolhe (ou inverte) pelo fator
. Uma mesma direção não pode ser esticada por dois fatores diferentes ao mesmo tempo, salvo se a direção for nula. Por isso o resultado é geral e vale independentemente da matriz
(desde que trabalhe-se num corpo usual como
ou
).
Intuitivamente, um autovetor indica uma direção que a transformação linear
Resposta
Verdadeira.