Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Se A for uma matriz invertível n times n, então a equação A x=b será consistente para cada b em R^n.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz A de ordem n que é invertível e queremos saber se, para todo vetor b em R^n, o sistema
Ax = b
é consistente. O conteúdo usado envolve sistemas lineares e a definição de matriz invertível.

Passo 2

Definição de invertibilidade: A é invertível se existe uma matriz A^-1 tal que
A^-1A = In
Isso implica que a transformação linear T(x)=Ax é injetora e sobrejetora em R^n.

Passo 3

Como T é sobrejetora, para cada binR^n existe xinR^n com Ax=b. De modo construtivo, basta tomar
x = A^-1b,
pois
Ax = A(A^-1b) = (AA^-1)b = In b = b
Logo o sistema é sempre consistente.

Resposta

Verdadeiro.

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