Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Se
for uma matriz invertível
, então a equação
será consistente para cada
em
.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz
de ordem
que é invertível e queremos saber se, para todo vetor
em
, o sistema
é consistente. O conteúdo usado envolve sistemas lineares e a definição de matriz invertível.
Passo 2
Definição de invertibilidade:
é invertível se existe uma matriz
tal que
Isso implica que a transformação linear
é injetora e sobrejetora em
.
Passo 3
Como
é sobrejetora, para cada
existe
com
. De modo construtivo, basta tomar
pois
Logo o sistema é sempre consistente.
Resposta
Verdadeiro.