Uma matriz triangular inferior
é uma matriz cujos elementos acima da diagonal principal são todos iguais a zero. Quando uma matriz triangular inferior é invertível? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fala de uma matriz triangular inferior de ordem
, ou seja, uma matriz
tal que
Queremos saber sob que condição essa matriz é invertível. O conteúdo principal aqui é a relação entre invertibilidade e determinante de matrizes triangulares.
Passo 2
Lembramos que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
Esse é o critério geral de invertibilidade.
Passo 3
No caso de matrizes triangulares (inferiores ou superiores), vale a propriedade especial de que o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim, para uma matriz triangular inferior
, temos
Passo 4
Para que
é necessário e suficiente que nenhum dos fatores do produto seja zero. Ou seja,
Resposta
Uma matriz triangular inferior
é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal forem diferentes de zero.