Uma matriz triangular inferior n times n é uma matriz cujos elementos acima da diagonal principal são todos iguais a zero. Quando uma matriz triangular inferior é invertível? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fala de uma matriz triangular inferior de ordem n, ou seja, uma matriz A=[aij]inR^ntimes n tal que
aij=0sempre que i<j
Queremos saber sob que condição essa matriz é invertível. O conteúdo principal aqui é a relação entre invertibilidade e determinante de matrizes triangulares.

Passo 2

Lembramos que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se,
det(A)neq 0
Esse é o critério geral de invertibilidade.

Passo 3

No caso de matrizes triangulares (inferiores ou superiores), vale a propriedade especial de que o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim, para uma matriz triangular inferior A, temos
det(A)=prodi=1^naii

Passo 4

Para que det(A)neq0 é necessário e suficiente que nenhum dos fatores do produto seja zero. Ou seja,
det(A)neq0 Long<=ftrightarrow a11neq0,;a22neq0,;dots,;annneq0

Resposta

Uma matriz triangular inferior ntimes n é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal forem diferentes de zero.

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