Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Se A e B forem matrizes n times n invertíveis, então A^-1 B^-1 será a inversa de A B.

Passo 1

O enunciado informa que A e B são matrizes ntimes n invertíveis e pergunta se “ A^-1B^-1” é a inversa de “ AB”. O conteúdo a usar é a regra do inverso de um produto de matrizes.

Passo 2

Lembramos que, por definição, X é inversa de Y se e somente se
XY = YX = I
No caso de um produto, há resultado clássico:
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Passo 3

Para ver por que a ordem importa, multipliquemos AB pela candidata A^-1B^-1:
(AB),(A^-1B^-1) = Al(B A^-1r)B^-1
Em geral não podemos trocar B com A^-1, isto é, BA^-1neq A^-1B. Logo
Al(BA^-1r)B^-1neq Al(A^-1Br)B^-1 = (AA^-1)(BB^-1)=I

Passo 4

Como a multiplicação não retorna a identidade em geral, A^-1B^-1 não satisfaz ser inversa de AB. A única forma de dar certo seria se A e B comutassem, mas esse não é requisito dado no enunciado.

Resposta

Falsa.

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