Uma matriz triangular superior
é uma matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero. Quando uma matriz triangular superior é invertível? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define uma matriz triangular superior de ordem
como uma matriz
em que
sempre que
. A pergunta é: “Quando essa matriz é invertível?” Para responder, vamos usar o fato fundamental de que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero, e em seguida explorar a propriedade do determinante de matrizes triangulares.
Passo 2
Lembrando que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
Logo, nosso objetivo é expressar
de uma matriz triangular superior em função dos seus elementos.
Passo 3
Uma propriedade clássica do determinante diz que, se
é triangular (superior ou inferior), então o determinante de
é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Em outras palavras, para
temos
A prova dessa propriedade pode ser feita por indução ou observando que, ao desenvolver o determinante por Laplace linha a linha (ou coluna a coluna), somente os produtos que tomam um elemento de cada linha e cada coluna sobrevivem, e todos esses produtos envolvem exatamente um termo de cada posição diagonal quando a matriz é triangular.
Passo 4
Com
seguimos que
se, e somente se, nenhum dos fatores
for zero. Portanto, a condição necessária e suficiente para
ser invertível é que todos os elementos da diagonal principal sejam não-nulos.
Resposta
A matriz triangular superior
é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal forem diferentes de zero.