Uma matriz triangular superior n times n é uma matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero. Quando uma matriz triangular superior é invertível? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define uma matriz triangular superior de ordem n como uma matriz A=(aij) em que aij=0 sempre que i>j. A pergunta é: “Quando essa matriz é invertível?” Para responder, vamos usar o fato fundamental de que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero, e em seguida explorar a propriedade do determinante de matrizes triangulares.

Passo 2

Lembrando que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se,
det(A)neq 0
Logo, nosso objetivo é expressar det(A) de uma matriz triangular superior em função dos seus elementos.

Passo 3

Uma propriedade clássica do determinante diz que, se A é triangular (superior ou inferior), então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Em outras palavras, para
A = (aij)i,j=1^n, aij=0 se i>j,
temos
det(A) = prodi=1^n aii
A prova dessa propriedade pode ser feita por indução ou observando que, ao desenvolver o determinante por Laplace linha a linha (ou coluna a coluna), somente os produtos que tomam um elemento de cada linha e cada coluna sobrevivem, e todos esses produtos envolvem exatamente um termo de cada posição diagonal quando a matriz é triangular.

Passo 4

Com
det(A) = prodi=1^n aii,
seguimos que det(A)neq 0 se, e somente se, nenhum dos fatores aii for zero. Portanto, a condição necessária e suficiente para A ser invertível é que todos os elementos da diagonal principal sejam não-nulos.

Resposta

A matriz triangular superior A é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal forem diferentes de zero.

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