Qual valor de q torna esse sistema singular, e qual t do lado direito lhe dá infinitas soluções? Encontre a solução que possui z=1.
r x+4 y-2 z=1 x+7 y-6 z=6 3 y+q z=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações! A questão pede para descobrir qual valor de q torna o sistema singular e qual valor de t faz com que ele tenha infinitas soluções. Além disso, precisamos encontrar a solução específica onde z = 1 .
Conteúdo envolvido: Matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações para encontrar condições de singularidade e soluções múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar os cálculos:
1 & 4 & -2 & | & 1 1 & 7 & -6 & | & 6 0 & 3 & q & | & t
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes das variáveis x , y e z , e a última coluna é o lado direito das equações.

Passo 3

Para o sistema ser singular, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 1 & 4 & -2 1 & 7 & -6 0 & 3 & q
O determinante de uma matriz 3 times 3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando os valores:
det(A) = 1 cdot (7 cdot q - (-6) cdot 3) - 4 cdot (1 cdot q - (-6) cdot 0) + (-2) cdot (1 cdot 3 - 7 cdot 0)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (7q + 18) - 4 cdot q + (-2) cdot 3 = 7q + 18 - 4q - 6 = 3q + 12

Passo 4

Para a matriz ser singular, o determinante deve ser igual a zero:
3q + 12 = 0 3q = -12 q = -4
Então, q = -4 torna o sistema singular.

Passo 5

Agora, queremos que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, além do determinante ser zero (o que já garantimos com q = -4 ), o lado direito também deve satisfazer uma condição específica.
Vamos substituir q = -4 na matriz aumentada:
1 & 4 & -2 & | & 1 1 & 7 & -6 & | & 6 0 & 3 & -4 & | & t
Para ter infinitas soluções, o sistema deve ser dependente, ou seja, uma equação é múltipla das outras. Vamos verificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(1 - 1)x + (7 - 4)y + (-6 - (-2))z = 6 - 1 0x + 3y -4z = 5
Agora, temos:
3y - 4z = 5 (Equação 4) çã
3y - 4z = t (Equação 3 modificada) çã
Para que ambas sejam a mesma equação, precisamos que t = 5 .

Passo 6

Agora que sabemos que q = -4 e t = 5 , vamos encontrar a solução com z = 1 .
Usando a Equação 4:
3y - 4(1) = 5 3y - 4 = 5 3y = 9 y = 3
Agora, substituímos y = 3 e z = 1 na primeira equação para encontrar x :
x + 4(3) - 2(1) = 1 x + 12 - 2 = 1 x + 10 = 1 x = -9

Resposta

Então, o valor de q que torna o sistema singular é q = -4 , e para esse valor, o t = 5 dá infinitas soluções. A solução que possui z = 1 é x = -9 , y = 3 e z = 1 .

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