Qual valor de torna esse sistema singular, e qual do lado direito lhe dá infinitas soluções? Encontre a solução que possui .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações! A questão pede para descobrir qual valor de torna o sistema singular e qual valor de faz com que ele tenha infinitas soluções. Além disso, precisamos encontrar a solução específica onde .
Conteúdo envolvido: Matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações para encontrar condições de singularidade e soluções múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar os cálculos:
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes das variáveis x , y e z , e a última coluna é o lado direito das equações.
Passo 3
Para o sistema ser singular, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante da matriz A :
Para a matriz ser singular, o determinante deve ser igual a zero:
3q + 12 = 0 3q = -12 q = -4
Então, q = -4 torna o sistema singular.
Passo 5
Agora, queremos que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, além do determinante ser zero (o que já garantimos com q = -4 ), o lado direito também deve satisfazer uma condição específica.
Para que ambas sejam a mesma equação, precisamos que t = 5 .
Passo 6
Agora que sabemos que q = -4 e t = 5 , vamos encontrar a solução com z = 1 .
Usando a Equação 4:
3y - 4(1) = 5 3y - 4 = 5 3y = 9 y = 3
Agora, substituímos y = 3 e z = 1 na primeira equação para encontrar x :
x + 4(3) - 2(1) = 1 x + 12 - 2 = 1 x + 10 = 1 x = -9
Resposta
Então, o valor de q que torna o sistema singular é q = -4 , e para esse valor, o t = 5 dá infinitas soluções. A solução que possui z = 1 é x = -9 , y = 3 e z = 1 .