O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores
, temos que
com igualdade se e somente se
e
forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se
e
, então o produto escalar (canônico)
de
e
e a norma (Euclideana)
de
são respectivamente dados por
Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwartz no caso
. Por que ela permanece válida se
? Justifique.
Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwartz no caso
Passo 1
Vamos aproveitar o resultado do item (b), que mostra que, para quaisquer
, vale
Aqui o conteúdo principal é perceber que dessa desigualdade já segue a forma “não quadrática” de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Reescrevendo em termos de norma euclidiana, lembrando que
, o item (b) nos dá
Passo 3
Se
, então
e podemos tomar raiz quadrada em ambos os lados (sabendo que ambos os lados são não negativos):
Isso é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso
.
Passo 4
Se
, então
e
. Assim a desigualdade fica
que é verdadeira (na verdade, com igualdade).
Resposta
Para todo
vale
e isso continua válido quando
porque tanto o produto escalar quanto a norma de
são zero, dando
.