O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores u, v in R^n, temos que
|lang<=u, vrang<=| <=|u| cdot|v|,
com igualdade se e somente se u e v forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se u=(u1, ldots, un) e v=(v1, ldots, vn), então o produto escalar (canônico) lang<=u, vrang<= de u e v e a norma (Euclideana) |u| de u são respectivamente dados por lang<=u, vrang<==u1 v1+cdots+un vn e|u|=raizlang<=u, urang<=)
Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwartz no caso v neq 0. Por que ela permanece válida se v=0? Justifique.

Passo 1

Vamos aproveitar o resultado do item (b), que mostra que, para quaisquer vec u,vec vinR^n, vale
lang<=vec u,vec vrang<=^2 ;<=;lang<=vec u,vec urang<=,lang<=vec v,vec vrang<=
Aqui o conteúdo principal é perceber que dessa desigualdade já segue a forma “não quadrática” de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Reescrevendo em termos de norma euclidiana, lembrando que |vec w|^2=lang<=vec w,vec wrang<=, o item (b) nos dá
lang<=vec u,vec vrang<=^2 ;<=;|vec u|^2,|vec v|^2

Passo 3

Se vec vneqvec0, então |vec v|>0 e podemos tomar raiz quadrada em ambos os lados (sabendo que ambos os lados são não negativos):
|lang<=vec u,vec vrang<=| ;<=; |vec u|;|vec v|
Isso é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso vec vneqvec0.

Passo 4

Se vec v=vec0, então lang<=vec u,vec vrang<==lang<=vec u,vec0rang<==0 e |vec v|=0. Assim a desigualdade fica
0 = |lang<=vec u,vec vrang<=| ;<=;|vec u|cdot0 = 0,
que é verdadeira (na verdade, com igualdade).

Resposta

Para todo vec u,vec vinR^n vale
|lang<=vec u,vec vrang<=|;<=;|vec u|;|vec v|,
e isso continua válido quando vec v=vec0 porque tanto o produto escalar quanto a norma de vec v são zero, dando 0<=0.

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