Marque qual subconjunto de V não é subespaço vetorial de V.
V=R^4, S=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos subconjuntos de V=R^4 não é subespaço vetorial. O único subconjunto dado é
S = l(x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0 e z-t=0r
Para decidir se S é subespaço, vamos usar a definição: um subconjunto Wsubseteq V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob adição: u,vin Wimplies u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: uin W,lambdainRimplies lambda uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0,0). Substituindo em x+y=0 e z-t=0 temos 0+0=0 e 0-0=0. Logo,
(0,0,0,0)in S

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos
u=(x1,y1,z1,t1)in S, v=(x2,y2,z2,t2)in S
Então
x1+y1=0, z1-t1=0,
x2+y2=0, z2-t2=0
Para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2) temos
(x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0,
(z1+z2)-(t1+t2)=(z1-t1)+(z2-t2)=0+0=0
Portanto u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja u=(x,y,z,t)in S e lambdainR. Como x+y=0 e z-t=0, então
lambda x + lambda y = lambda(x+y)=lambdacdot0=0,
lambda z - lambda t = lambda(z-t)=lambdacdot0=0
Logo lambda uin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

Não há subconjunto listado que não seja subespaço, pois o único S dado é de fato um subespaço vetorial de V.

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