Marque com V as alternativas verdadeiras e com F as alternativas falsas, justificando adequadamente suas escolhas.
( ) Se
é convergente então
também é convergente.
( ) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é convergente então
também é convergente.”
Estamos trabalhando com séries numéricas e vamos precisar entender os conceitos de convergência de sequências e convergência de séries para resolver essa questão.
Estamos trabalhando com séries numéricas e vamos precisar entender os conceitos de convergência de sequências e convergência de séries para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência
ser convergente. Isso quer dizer que, conforme
aumenta, os termos
se aproximam de um valor específico, digamos
. Matematicamente, escrevemos isso como:
No caso, se uma sequência é convergente, ela necessariamente tem um limite finito.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a convergência de uma série
. Para que essa série seja convergente, a soma dos termos até o infinito deve se aproximar de um número finito. Um teste importante para verificar a convergência de uma série é o Teste da Divergência, que nos diz que se:
então a série
diverge, ou seja, não converge.
Passo 4
No enunciado, dizemos que
é convergente, ou seja:
Para a série
convergir, segundo o Teste da Divergência, precisamos que:
Se
, a série pode ou não convergir; é preciso aplicar outros testes para ter certeza. Se
, a série automaticamente diverge.
Passo 5
Portanto, apenas saber que a sequência
é convergente não garante que a série
também seja convergente. O que garantimos é que, se a série
converge, então necessariamente
deve convergir para zero. Mas o contrário não é verdade:
pode convergir para zero e a série ainda assim divergir.
Resposta
F