Marque com V as alternativas verdadeiras e com F as alternativas falsas, justificando adequadamente suas escolhas.
( ) Se ak é convergente então sumk=0^+infty ak também é convergente.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se ak é convergente então sumk=0^+infty ak também é convergente.”
Estamos trabalhando com séries numéricas e vamos precisar entender os conceitos de convergência de sequências e convergência de séries para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ak ser convergente. Isso quer dizer que, conforme k aumenta, os termos ak se aproximam de um valor específico, digamos L. Matematicamente, escrevemos isso como:
limk to infty ak = L
No caso, se uma sequência é convergente, ela necessariamente tem um limite finito.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a convergência de uma série sumk=0^+infty ak. Para que essa série seja convergente, a soma dos termos até o infinito deve se aproximar de um número finito. Um teste importante para verificar a convergência de uma série é o Teste da Divergência, que nos diz que se:
limk to infty ak neq 0
então a série sum ak diverge, ou seja, não converge.

Passo 4

No enunciado, dizemos que ak é convergente, ou seja:
limk to infty ak = L
Para a série sum ak convergir, segundo o Teste da Divergência, precisamos que:
limk to infty ak = 0
Se L = 0, a série pode ou não convergir; é preciso aplicar outros testes para ter certeza. Se L neq 0, a série automaticamente diverge.

Passo 5

Portanto, apenas saber que a sequência ak é convergente não garante que a série sum ak também seja convergente. O que garantimos é que, se a série sum ak converge, então necessariamente ak deve convergir para zero. Mas o contrário não é verdade: ak pode convergir para zero e a série ainda assim divergir.

Resposta

F

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