Marque (V) verdadeiro ou (F) falso para as afirmativas abaixo (não é necessário demonstrar). A questão será avaliada da seguinte forma: 0,4 ponto por item correto, -0,2 ponto por item incorreto e 0 ponto por item em branco, sendo a nota mínima da questão igual a zero. (vale 2,0 pontos)
( ) A transformação T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(2 x-y, 2 x+y) é um isomorfismo.
( ) Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A=v1, v2, ldots, vn é sempre linearmente independente.
( ) Se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano (u+v) perp(u-v) implica que |u|=|v|.
( ) Se T: IR ^2 IR ^2 é um operador linear definido por T(x, y)=(x-2 y,-3 x+6 y) então o vetor (2,1) pertence à imagem de T .
( ) Se T: I R^2 I R^2 é um operador linear definido por T(x, y)=(3 x+y, 4 x+2 y) então o vetor (-1,3) pertence ao núcleo de T .

Passo 1

O enunciado pede para marcar (V) ou (F) em cinco afirmações de Álgebra Linear envolvendo isomorfismos, conjuntos ortogonais, produto interno, imagem e núcleo de transformações lineares. Vamos usar:
– Para isomorfismo em R^2: verificar se a matriz associada tem determinante não nulo.
– Em espaço euclidiano: um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre linearmente independente.
– Produto interno: (u+v)perp(u-v) implica lang<= u+v,u-vrang<==0.
– Imagem de T: span das colunas da matriz de T.
– Núcleo de T: solução de T(x,y)=(0,0).

Passo 2

A transformação T(x,y)=(2x-y,,2x+y) tem matriz
A = 2 & -1[6pt]2 & 1,
cujo determinante é
det(A)=2cdot1 - 2cdot(-1)=2+2=4neq0
Como det(A)neq0, T é invertível e, portanto, um isomorfismo. Logo, a primeira afirmação é verdadeira.]

Passo 3

Um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço com produto interno é sempre linearmente independente, pois qualquer combinação linear que zere o vetor só pode ter todos os coeficientes iguais a zero. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.

Passo 4

Se (u+v)perp(u-v), então
lang<= u+v,u-vrang<= =lang<= u,urang<= - lang<= v,vrang<= =|u|^2 - |v|^2 = 0
implica |u|^2=|v|^2 e, portanto, |u|=|v|. Logo, a terceira afirmação é verdadeira.

Passo 5

Para T(x,y)=(x-2y,,-3x+6y) a matriz é
B=1 & -2[4pt]-3 & 6,
cuja segunda coluna é -2 vezes a primeira, então Im(T)=Span(1,-3). O vetor (2,1) não é múltiplo de (1,-3), logo não está na imagem. Assim, a quarta afirmação é falsa.]

Passo 6

Para T(x,y)=(3x+y,,4x+2y) testamos se (-1,3) está no núcleo, calculando
T(-1,3)=l(3cdot(-1)+3,;4cdot(-1)+2cdot3r)=(0,2)neq(0,0)
Logo, (-1,3) não pertence ao núcleo de T e a quinta afirmação é falsa.

Resposta

(V), (V), (V), (F), (F)

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