Marque (V) verdadeiro ou (F) falso para as afirmativas abaixo (não é necessário demonstrar). A questão será avaliada da seguinte forma: 0,4 ponto por item correto,
ponto por item incorreto e 0 ponto por item em branco, sendo a nota mínima da questão igual a zero. (vale 2,0 pontos)
( ) A transformação
é um isomorfismo.
( ) Um conjunto ortogonal de vetores não nulos
é sempre linearmente independente.
( ) Se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano
implica que
.
( ) Se
é um operador linear definido por
então o vetor
pertence à imagem de T .
( ) Se
é um operador linear definido por
então o vetor
pertence ao núcleo de T .
( ) A transformação
( ) Um conjunto ortogonal de vetores não nulos
( ) Se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para marcar (V) ou (F) em cinco afirmações de Álgebra Linear envolvendo isomorfismos, conjuntos ortogonais, produto interno, imagem e núcleo de transformações lineares. Vamos usar:
– Para isomorfismo em : verificar se a matriz associada tem determinante não nulo.
– Em espaço euclidiano: um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre linearmente independente.
– Produto interno: implica
.
– Imagem de : span das colunas da matriz de
.
– Núcleo de : solução de
.
– Para isomorfismo em
– Em espaço euclidiano: um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre linearmente independente.
– Produto interno:
– Imagem de
– Núcleo de
Passo 2
A transformação
tem matriz
cujo determinante é
Como
,
é invertível e, portanto, um isomorfismo. Logo, a primeira afirmação é verdadeira.]
Passo 3
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço com produto interno é sempre linearmente independente, pois qualquer combinação linear que zere o vetor só pode ter todos os coeficientes iguais a zero. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.
Passo 4
Se
, então
implica
e, portanto,
. Logo, a terceira afirmação é verdadeira.
Passo 5
Para
a matriz é
cuja segunda coluna é
vezes a primeira, então
. O vetor
não é múltiplo de
, logo não está na imagem. Assim, a quarta afirmação é falsa.]
Passo 6
Para
testamos se
está no núcleo, calculando
Logo,
não pertence ao núcleo de
e a quinta afirmação é falsa.
Resposta
(V), (V), (V), (F), (F)