Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada item abaixo. Se falso, explique o porquê. Atenção: resposta correta vale +0,25 ponto, sem resposta vale 0 ponto, resposta errada vale -0,25 ponto.
Se f é derivável em [a, b], então f é integrável em [a, b].

Passo 1

O enunciado pergunta se “seja f derivável em [a,b], então f é integrável em [a,b]”. O conteúdo envolvido é a relação entre derivabilidade, continuidade e integrabilidade de Riemann em intervalos fechados.

Passo 2

Por definição, se f é derivável em cada ponto de [a,b], então em cada ponto o limite
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
existe e é finito. A existência desse limite implica que
limhto0[f(x+h)-f(x)]=0,
ou seja, f é contínua em cada ponto de [a,b]. Como resultado, f é contínua em todo o intervalo fechado [a,b].
Um teorema clássico afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado é Riemann-integrável nesse intervalo. Logo, f é integrável em [a,b].

Resposta

V

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