Marque verdadeiro ou falso e justifique.
Se sumn=1^infty an diverge e an >= 0, para todo n, então sumn=1^infty an^2 diverge.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma série sumn=1^inftyan com termos não-negativos ( an>=0) e que essa série diverge. Pergunta-se se então necessariamente diverge também a série sumn=1^inftyan^2. O conteúdo que vamos usar é o teste de p-séries e a ideia de contraexemplo: basta achar uma sequência positiva cuja série diverge, mas cuja série de quadrados converge.

Passo 2

Escolhemos o contraexemplo clássico
an = 1n
Então a série original é a série harmônica
sumn=1^infty 1n,
que diverge pois é um p-série com p=1<=1. Já a série dos quadrados fica
sumn=1^infty gl(1ngr)^2 = sumn=1^infty 1n^2,
que converge porque é um p-série com p=2>1.

Resposta

Falso. O contraexemplo an=1/n mostra que sum an pode divergir enquanto sum an^2 converge.

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