Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
(b) Em um espaco vetorial V sobre \mathrm{K}, k v=0 \Leftrightarrow k=0 ou v=0.

Passo 1

O enunciado diz: em um espaço vetorial V sobre um corpo \mathrm{K}, prove que
k\,v = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0 \;\text{ou}\; v = 0.
O conteúdo usado é a definição de espaço vetorial (em particular os axiomas de multiplicação escalar) e o fato de que em um corpo todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Prova da implicação “ \Rightarrow” (direta):
  • Se k = 0, então pelo axioma de espaço vetorial
0\cdot v = 0
para todo v\in V.
  • Se v = 0, então pelo mesmo axioma
k\cdot 0 = 0
para todo k\in \mathrm{K}.
Em ambos os casos conclui-se que k\,v=0.

Passo 3

Prova da implicação “ \Leftarrow” (recíproca):
Suponha que k\,v = 0 e que k\neq0. Como \mathrm{K} é um corpo, existe o inverso k^{-1}. Então
k^{-1}(k\,v) = k^{-1}\,0.
Pela associatividade e pelo fato de k^{-1}0=0, obtemos
(k^{-1}k)\,v = 0 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot v = 0 \quad\Rightarrow\quad v = 0.
Logo, k\,v=0 força v=0 sempre que k\neq0. Isso mostra que, se k\,v=0, então ou k=0 ou v=0.

Resposta

Verdadeiro.

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