Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
(b) Em um espaco vetorial V sobre
ou
.
(b) Em um espaco vetorial V sobre
Passo 1
O enunciado diz: em um espaço vetorial
sobre um corpo
, prove que
O conteúdo usado é a definição de espaço vetorial (em particular os axiomas de multiplicação escalar) e o fato de que em um corpo todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Prova da implicação “
” (direta):
- Se
, então pelo axioma de espaço vetorial
para todo
.
- Se
, então pelo mesmo axioma
para todo
.
Em ambos os casos conclui-se que .
Em ambos os casos conclui-se que
Passo 3
Prova da implicação “
” (recíproca):
Suponha que e que
. Como
é um corpo, existe o inverso
. Então
Suponha que
Pela associatividade e pelo fato de
, obtemos
Logo,
força
sempre que
. Isso mostra que, se
, então ou
ou
.
Resposta
Verdadeiro.