Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
(d) Seja
LD em um espaço vetorial V , se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.
(d) Seja
Passo 1
O enunciado envolve o conceito de dependência linear em um espaço vetorial
. Diz que o conjunto
é linearmente dependente (LD) e pergunta se qualquer sub-conjunto obtido removendo-se um ou mais vetores também será LD. Vamos usar a definição de dependência linear e uma propriedade de sub-conjuntos.
Passo 2
Definição de dependência linear: um conjunto de vetores
é LD se existem escalares não todos nulos
tais que
Caso contrário,
é linearmente independente (LI).
Passo 3
Nem toda sub-conjunto de um conjunto LD precisa ser LD. A dependência linear pode envolver exatamente o vetor que removemos, de modo que, sem ele, a combinação não trivial deixa de existir e o conjunto passa a ser LI.
Passo 4
Contraexemplo em
: seja
O conjunto
é LD porque
com escalares
,
,
não todos nulos.
Se removermos , sobra
, que é LI, pois a única combinação
força
.
Se removermos
Resposta
FALSO.