Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
(d) Seja \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} LD em um espaço vetorial V , se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.

Passo 1

O enunciado envolve o conceito de dependência linear em um espaço vetorial V. Diz que o conjunto \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} é linearmente dependente (LD) e pergunta se qualquer sub-conjunto obtido removendo-se um ou mais vetores também será LD. Vamos usar a definição de dependência linear e uma propriedade de sub-conjuntos.

Passo 2

Definição de dependência linear: um conjunto de vetores S\subset V é LD se existem escalares não todos nulos \alpha_i tais que
\sum_{v_i\in S}\alpha_i\,v_i = 0.
Caso contrário, S é linearmente independente (LI).

Passo 3

Nem toda sub-conjunto de um conjunto LD precisa ser LD. A dependência linear pode envolver exatamente o vetor que removemos, de modo que, sem ele, a combinação não trivial deixa de existir e o conjunto passa a ser LI.

Passo 4

Contraexemplo em V=\mathbb{R}^2: seja
v_{1}=(1,0),\quad v_{2}=(0,1),\quad v_{3}=(1,1).
O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é LD porque
v_{3} - v_{1} - v_{2} = 0
com escalares \alpha_1=-1, \alpha_2=-1, \alpha_3=1 não todos nulos.
Se removermos v_{3}, sobra \{v_{1},v_{2}\}, que é LI, pois a única combinação \beta_1v_1+\beta_2v_2=0 força \beta_1=\beta_2=0.

Resposta

FALSO.

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