Verifique se o conjunto S=\left\{\left(\begin{array}{cc}-a & a \\\\ -b+a & b\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}\right\} é um subespaço de M_{2 \times 2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix} -a & a\\\\ -b+a & b \end{pmatrix}\;\middle|\;a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço de M_{2\times2}. O conteúdo envolvido é teoria de subespaços vetoriais. Vamos usar o critério habitual: mostrar que S\neq\emptyset, que é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o zero da estrutura está em S. Tomando a=0 e b=0 obtemos
\begin{pmatrix} -0 & 0\\\\ -0+0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
logo \mathbf{0}\in S e S\neq\emptyset.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição. Seja
M(a_{1},b_{1})=\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{1}\\\ -b_{1}+a_{1}&b_{1}\end{pmatrix},\quad M(a_{2},b_{2})=\begin{pmatrix}-a_{2}&a_{2}\\\ -b_{2}+a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}.
Então
M(a_{1},b_{1})+M(a_{2},b_{2}) =\begin{pmatrix} -(a_{1}+a_{2}) & a_{1}+a_{2}\\\\ -\bigl(b_{1}+b_{2}\bigr)+(a_{1}+a_{2}) & b_{1}+b_{2} \end{pmatrix} = M(a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2})\in S.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e M(a,b)\in S. Então
\lambda\,M(a,b) =\begin{pmatrix} -\lambda a & \lambda a\\\\ -\lambda b+\lambda a & \lambda b \end{pmatrix} = M(\lambda a,\;\lambda b)\in S.

Resposta

O conjunto S satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial de M_{2\times2}; portanto, S é um subespaço de M_{2\times2}.

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