Verifique se V=\{v \in \mathbb{R}: v>0\} é um espaço vetorial com as seguintes operações:
\begin{array}{r} v_{1}+v_{2}=v_{1} \cdot v_{2} \\\ k v=v^{k} \end{array}
onde . é a multiplicação usual em \mathbb{R}, k \in \mathbb{R} e v^{k} é a potenciaçāo em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V = \{v\in\mathbb{R}:v>0\}
com duas operações “não convencionais”:
– soma em V dada por
v_{1}+v_{2} \;=\; v_{1}\cdot v_{2},
– multiplicação por escalar em V dada por
k\,v \;=\; v^{k},
onde o ponto “ \cdot” é a multiplicação usual em \mathbb{R} e v^{k} é a potenciação usual de base positiva.
Para mostrar que (V,+,\cdot) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}, precisamos verificar:
  1. (V,+) é um grupo abeliano.
  2. As propriedades de compatibilidade entre soma e multiplicação por escalar (fechamento, elemento neutro escalar, associatividade, distributividades).

Passo 2

Verificação de (V,+) como grupo abeliano:
  1. Fechamento: se v_{1}>0 e v_{2}>0 então v_{1}+v_{2}=v_{1}\cdot v_{2}>0, logo está em V.
  2. Associatividade:
(v_{1}+v_{2})+v_{3} = (v_{1}\cdot v_{2})\cdot v_{3} = v_{1}\cdot(v_{2}\cdot v_{3}) = v_{1}+(v_{2}+v_{3}).
  1. Comutatividade: v_{1}+v_{2}=v_{1}v_{2}=v_{2}v_{1}=v_{2}+v_{1}.
  2. Elemento neutro (“vetor zero”): seja e tal que e+v=e\cdot v=v. Então e=1, e 1>0 está em V.
  3. Inverso aditivo: para cada v>0 existe w com v+w=v\cdot w =1. Logo w=1/v>0 está em V.
    Portanto (V,+) é de fato um grupo abeliano, com neutro 1 e inverso de v igual a v^{-1}.

Passo 3

Verificação das propriedades de multiplicação por escalar:
  1. Fechamento escalar: se v>0 e k\in\mathbb{R}, então v^{k}=\exp(k\ln v)>0, logo k\,v\in V.
  2. Neutro escalar:
1\cdot v = v^{1} = v.
  1. Associatividade de escalares: para k_{1},k_{2}\in\mathbb{R},
(k_{1}k_{2})\cdot v = v^{\,k_{1}k_{2}} = \bigl(v^{k_{2}}\bigr)^{k_{1}} = k_{1}\bigl(k_{2}\cdot v\bigr).
  1. Distributividade sobre a soma de vetores:
k\cdot(v_{1}+v_{2}) = (v_{1}v_{2})^{k} = v_{1}^{k}\,v_{2}^{k} = k\cdot v_{1} \;+\; k\cdot v_{2}.
  1. Distributividade sobre a soma de escalares:
(k_{1}+k_{2})\cdot v = v^{\,k_{1}+k_{2}} = v^{\,k_{1}}\,v^{\,k_{2}} = k_{1}\cdot v \;+\; k_{2}\cdot v.

Passo 4

Como todas as propriedades axiomáticas de espaço vetorial (grupo abeliano em +, compatibilidade entre soma e escalar) estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Sim, \{v\in\mathbb{R}:v>0\} com v_{1}+v_{2}=v_{1}v_{2} e k\,v=v^{k} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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