Verifique se
é um espaço vetorial com as seguintes operações:
onde . é a multiplicação usual em
e
é a potenciaçāo em
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com duas operações “não convencionais”:
– soma em dada por
com duas operações “não convencionais”:
– soma em
– multiplicação por escalar em
dada por
onde o ponto “
” é a multiplicação usual em
e
é a potenciação usual de base positiva.
Para mostrar que é espaço vetorial sobre
, precisamos verificar:
Para mostrar que
-
é um grupo abeliano. - As propriedades de compatibilidade entre soma e multiplicação por escalar (fechamento, elemento neutro escalar, associatividade, distributividades).
Passo 2
Verificação de
como grupo abeliano:
- Fechamento: se
e então , logo está em . - Associatividade:
- Comutatividade:
- Elemento neutro (“vetor zero”): seja
tal que . Então , e está em . - Inverso aditivo: para cada
existe com . Logo está em .
Portantoé de fato um grupo abeliano, com neutro e inverso de igual a .
Passo 3
Verificação das propriedades de multiplicação por escalar:
- Fechamento escalar: se
e , então , logo . - Neutro escalar:
- Associatividade de escalares: para
,
- Distributividade sobre a soma de vetores:
- Distributividade sobre a soma de escalares:
Passo 4
Como todas as propriedades axiomáticas de espaço vetorial (grupo abeliano em
, compatibilidade entre soma e escalar) estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim,
com
e
é um espaço vetorial sobre
.