Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta. contha- vemplo
a) O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
b) Em um espaco vetorial V sobre
ou
.
c Seja
LI em um espago vetorial V, se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LI.
d) Seja
LD em um espaço vetorial V, se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.
e) Seja
LD em um espaço vetorial V , se acrescentarmos um ou mais vetores nesse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.
a) O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
b) Em um espaco vetorial V sobre
c Seja
d) Seja
e) Seja
Passo 1
O enunciado pede para indicarmos se cada uma das afirmações sobre espaços vetoriais é verdadeira ou falsa. Vamos usar:
- A definição de espaço vetorial (elemento neutro e propriedades).
- Propriedades de corpos (ausência de divisores de zero).
- Definições de conjuntos linearmente independentes (LI) e dependentes (LD).
Passo 2
Afirmação (a): “O vetor nulo de um espaço vetorial é único.”
Suponha que existam dois vetores nulos, e
. Por definição de neutro,
Suponha que existam dois vetores nulos,
logo só pode haver um único vetor nulo.
Portanto, (a) é Verdadeira.
Portanto, (a) é Verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Em um espaço vetorial
sobre
,
ou
.”
– Se então
por propriedade do escalar zero.
– Se então
por propriedade do vetor zero.
– Reciprocamente, se e
, como
é corpo, existe
, daí
– Se
– Se
– Reciprocamente, se
Logo, ou
ou
.
Portanto, (b) é Verdadeira.
Portanto, (b) é Verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Se
é LI, ao extrairmos um ou mais vetores ainda é LI.”
Qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente permanece LI, pois não se cria nova combinação não trivial que anule.
Portanto, (c) é Verdadeira.
Qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente permanece LI, pois não se cria nova combinação não trivial que anule.
Portanto, (c) é Verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “Se
é LD, ao extrairmos um ou mais vetores ainda é LD.”
Exemplo: se são LD via
, ao remover
fica
, que pode ser LI. Logo, nem sempre permanece LD.
Portanto, (d) é Falsa.
Exemplo: se
Portanto, (d) é Falsa.
Passo 6
Afirmação (e): “Se
é LD, ao acrescentarmos vetores ainda é LD.”
A relação de dependência original continua válida no conjunto maior, basta atribuir coeficiente zero aos vetores novos.
Portanto, (e) é Verdadeira.
A relação de dependência original continua válida no conjunto maior, basta atribuir coeficiente zero aos vetores novos.
Portanto, (e) é Verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Verdadeira