Marque verdadeiro ou falso, justifique sua resposta. contha- vemplo
a) O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
b) Em um espaco vetorial V sobre \mathrm{K}, k v=0 \Leftrightarrow k=0 ou v=0.
c Seja \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} LI em um espago vetorial V, se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LI.
d) Seja \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} LD em um espaço vetorial V, se extrairmos um ou mais vetores desse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.
e) Seja \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} LD em um espaço vetorial V , se acrescentarmos um ou mais vetores nesse conjunto, ainda assim teremos um conjunto LD.

Passo 1

O enunciado pede para indicarmos se cada uma das afirmações sobre espaços vetoriais é verdadeira ou falsa. Vamos usar:
  1. A definição de espaço vetorial (elemento neutro e propriedades).
  2. Propriedades de corpos (ausência de divisores de zero).
  3. Definições de conjuntos linearmente independentes (LI) e dependentes (LD).

Passo 2

Afirmação (a): “O vetor nulo de um espaço vetorial é único.”
Suponha que existam dois vetores nulos, \mathbf{0} e \mathbf{0}'. Por definição de neutro,
\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}' = \mathbf{0}',
logo só pode haver um único vetor nulo.
Portanto, (a) é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Em um espaço vetorial V sobre \mathrm{K}, k\,v = \mathbf{0} \Leftrightarrow k=0 ou v=\mathbf{0}.”
– Se k=0 então k\,v=\mathbf{0} por propriedade do escalar zero.
– Se v=\mathbf{0} então k\,v=\mathbf{0} por propriedade do vetor zero.
– Reciprocamente, se k\,v=\mathbf{0} e k\neq0, como \mathrm{K} é corpo, existe k^{-1}, daí
v = k^{-1}(k\,v) = k^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0}.
Logo, ou k=0 ou v=\mathbf{0}.
Portanto, (b) é Verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Se \{v_{1},\dots,v_{n}\} é LI, ao extrairmos um ou mais vetores ainda é LI.”
Qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente permanece LI, pois não se cria nova combinação não trivial que anule.
Portanto, (c) é Verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “Se \{v_{1},\dots,v_{n}\} é LD, ao extrairmos um ou mais vetores ainda é LD.”
Exemplo: se v_{1},v_{2},v_{3} são LD via v_{3}=v_{1}+v_{2}, ao remover v_{3} fica \{v_{1},v_{2}\}, que pode ser LI. Logo, nem sempre permanece LD.
Portanto, (d) é Falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “Se \{v_{1},\dots,v_{n}\} é LD, ao acrescentarmos vetores ainda é LD.”
A relação de dependência original continua válida no conjunto maior, basta atribuir coeficiente zero aos vetores novos.
Portanto, (e) é Verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Verdadeira

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