Verifique se os vetores são LI ou LD.
p(x)=x-2 x^{2}, q(x)=-3+2 x-x^{2}, r(x)=3, s(x)=-2 x^{2} de P_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
p(x)=x-2x^{2},\quad q(x)=-3+2x-x^{2},\quad r(x)=3,\quad s(x)=-2x^{2}
em P_{2} são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conteúdo aqui é combinação linear em P_{2}. Para resolver, vamos expressar cada polinômio em coordenadas na base \{1,x,x^{2}\} e montar um sistema para
c_{1}p(x)+c_{2}q(x)+c_{3}r(x)+c_{4}s(x)=0.

Passo 2

Na base \{1,x,x^{2}\}, cada polinômio corresponde ao vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}):
p(x)\mapsto(0,1,-2),\quad q(x)\mapsto(-3,2,-1),\quad r(x)\mapsto(3,0,0),\quad s(x)\mapsto(0,0,-2).

Passo 3

A combinação linear
c_{1}p(x)+c_{2}q(x)+c_{3}r(x)+c_{4}s(x)=0
torna-se no sistema de coordenadas
c_{1}(0,1,-2)+c_{2}(-3,2,-1)+c_{3}(3,0,0)+c_{4}(0,0,-2)=(0,0,0),
isto é,
\begin{cases} -3c_{2}+3c_{3}=0,\\\ c_{1}+2c_{2}=0,\\\\ -2c_{1}-c_{2}-2c_{4}=0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 3c_{3}=3c_{2}\Rightarrow c_{3}=c_{2}.
Da segunda, c_{1}=-2c_{2}.
Na terceira, substituindo c_{1}:
-2(-2c_{2})-c_{2}-2c_{4}=0 \;\Longrightarrow\;4c_{2}-c_{2}-2c_{4}=0 \;\Longrightarrow\;3c_{2}-2c_{4}=0 \;\Longrightarrow\;c_{4}=\tfrac{3}{2}c_{2}.
Tomando c_{2}=2 (não trivial), temos
c_{1}=-4,\quad c_{2}=2,\quad c_{3}=2,\quad c_{4}=3,
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-4\,p(x)+2\,q(x)+2\,r(x)+3\,s(x)=0.

Passo 5

Como existe solução não trivial para a combinação linear nula, os polinômios são linearmente dependentes em P_{2}.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois satisfazem
-4\,p(x)+2\,q(x)+2\,r(x)+3\,s(x)=0.

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