Questão 3 Sabe-se que T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) é um operador diagonalizável satisfazendo T^{3}=-T.
(a) Determine o polinômio minimal de T.
(b) Determine o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é diagonalizável e satisfaz
T^3 = -\,T.
O conteúdo é teoria de polinômio minimal e polinômio característico. Vamos usar que, como T^3+T=0, o operador anula o polinômio
p(x)=x\bigl(x^2+1\bigr),
de modo que o polinômio minimal m_T(x) divide p(x) e, por diagonalizabilidade, não tem fatores repetidos.

Passo 2

Como m_T(x) divide p(x)=x(x^2+1) e não pode ter fatores repetidos, as únicas opções para m_T(x) são
x,\quad x^2+1,\quad x(x^2+1).

Passo 3

Para que T seja diagonalizável em \mathbb{R}^3, todos os seus autovalores devem ser reais. As raízes de x^2+1=0 são \pm i, que não são reais. Logo os fatores irreduzíveis não lineares não podem aparecer no minimal. A única opção é
m_T(x)=x.

Passo 4

O polinômio característico de T tem grau 3 e seus autovalores coincidem com as raízes de m_T(x), contando multiplicidade algébrica. Como o único autovalor é 0 com multiplicidade 3,
\chi_T(x)=x^3.

Resposta

O polinômio minimal é
m_T(x)=x,
e o polinômio característico é
\chi_T(x)=x^3.

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