Questão 3 Sabe-se que
é um operador diagonalizável satisfazendo
.
(a) Determine o polinômio minimal de
.
(b) Determine o polinômio característico de
.
(a) Determine o polinômio minimal de
(b) Determine o polinômio característico de
Passo 1
O enunciado diz que
é diagonalizável e satisfaz
O conteúdo é teoria de polinômio minimal e polinômio característico. Vamos usar que, como
, o operador anula o polinômio
de modo que o polinômio minimal
divide
e, por diagonalizabilidade, não tem fatores repetidos.
Passo 2
Como
divide
e não pode ter fatores repetidos, as únicas opções para
são
Passo 3
Para que
seja diagonalizável em
, todos os seus autovalores devem ser reais. As raízes de
são
, que não são reais. Logo os fatores irreduzíveis não lineares não podem aparecer no minimal. A única opção é
Passo 4
O polinômio característico de
tem grau 3 e seus autovalores coincidem com as raízes de
, contando multiplicidade algébrica. Como o único autovalor é
com multiplicidade 3,
Resposta
O polinômio minimal é
e o polinômio característico é