Verifique se os vetores são LI ou LD.
\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ -1 & -3\end{array}\right) de M_{2 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}0 & 4 \\[0.3em]-1 & -3\end{pmatrix}
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) no espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}). Vamos usar a definição: eles são LI se a única combinação linear
\alpha\,A + \beta\,B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[0.3em]0 & 0\end{pmatrix}
ocorrer for com \alpha=\beta=0.]

Passo 2

Formamos a combinação linear nula:
\alpha\begin{pmatrix}1 & 1 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 4 \\[0.3em]-1 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[0.3em]0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0,\\\ \alpha + 4\beta = 0,\\\\ -\beta = 0,\\\\ 4\alpha -3\beta = 0. \end{cases}]

Passo 3

Das equações \alpha=0 e -\beta=0 vem imediatamente \alpha=0 e \beta=0. As demais equações ficam 0+4\cdot0=0 e 4\cdot0-3\cdot0=0, que também são satisfeitas. Logo, só há solução trivial.

Passo 4

Como a única solução é \alpha=\beta=0, concluímos que A e B são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (matrizes) são LI.

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