Questão 4 Seja
com
(a) Quais os possíveis auto-valores de
(b)
é diagonalizável? Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
(a) Quais os possíveis auto-valores de
(b)
Passo 1
O enunciado define
por
e pede (a) os autovalores de
e (b) se
é diagonalizável. Vamos usar a decomposição de qualquer matriz em parte simétrica e antissimétrica para achar os autovalores e verificar se as somas diretas dos autovetores geram todo o espaço.
Passo 2
Para achar os autovalores
, imponha
Transpondo essa igualdade obtém-se
logo
, isto é,
ou
.
Passo 3
Observe que toda matriz
se escreve unicamente como
Então
o que identifica o espaço de matrizes simétricas como o autovetor de
e o de matrizes antissimétricas como o autovetor de
.
Passo 4
Como
os autovetores associados a
e
formam base de
. Logo
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores possíveis são
e
.
(b) Sim. Os subespaços de matrizes simétricas e antissimétricas
são autoespaços cuja soma direta gera todo
, garantindo diagonalização.
(b) Sim. Os subespaços de matrizes simétricas