Questão 4 Seja T \in \mathcal{L}\left(M_{1829 \times 1829}\right) com T(A)=A-A^{t}
(a) Quais os possíveis auto-valores de T
(b) T é diagonalizável? Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.

Passo 1

O enunciado define T\colon M_{1829\times1829}\to M_{1829\times1829} por
T(A)=A - A^t
e pede (a) os autovalores de T e (b) se T é diagonalizável. Vamos usar a decomposição de qualquer matriz em parte simétrica e antissimétrica para achar os autovalores e verificar se as somas diretas dos autovetores geram todo o espaço.

Passo 2

Para achar os autovalores \lambda, imponha
T(A)=\lambda A \quad\Longrightarrow\quad A - A^t = \lambda A \quad\Longrightarrow\quad A^t = (1-\lambda)A.
Transpondo essa igualdade obtém-se
A = (1-\lambda)A^t = (1-\lambda)^2 A,
logo (1-\lambda)^2=1, isto é, \lambda=0 ou \lambda=2.

Passo 3

Observe que toda matriz A se escreve unicamente como
A=S+X, \quad S^t=S, \quad X^t=-X.
Então
T(S)=S-S^t=0,\quad T(X)=X-(-X)=2X,
o que identifica o espaço de matrizes simétricas como o autovetor de \lambda=0 e o de matrizes antissimétricas como o autovetor de \lambda=2.

Passo 4

Como
M_{1829\times1829}=\{\text{simétricas}\}\oplus\{\text{antissimétricas}\},éé
os autovetores associados a \lambda=0 e \lambda=2 formam base de M_{1829\times1829}. Logo T é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores possíveis são \;0 e \;2.
(b) Sim. Os subespaços de matrizes simétricas \lambda=0 e antissimétricas \lambda=2 são autoespaços cuja soma direta gera todo M_{1829\times1829}, garantindo diagonalização.

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