Marque
para verdadeiro e
para falso. Justifique sua resposta. Dados os limites
(A)
The toll
(B)
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites,
e
, existem.
( ) Ambos os limites,
e
, não existem.
( ) O limite (A) pode ser calculado por coordenadas polares.
( ) O limite (A) vale -1 .
( ) O limite (B) vale
e é encontrado por caminhos.
( ) O limite (A) existe e o limite (B) nāo existe.
(A)
(B)
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites,
( ) Ambos os limites,
( ) O limite (A) pode ser calculado por coordenadas polares.
( ) O limite (A) vale -1 .
( ) O limite (B) vale
( ) O limite (A) existe e o limite (B) nāo existe.
Passo 1
O exercício é sobre limites de funções de duas variáveis em (0,0): o limite (A) envolve a expressão
e o limite (B) envolve
. Precisamos verificar existência de cada limite e calcular quando existir.
Passo 2
Para o limite (A), usamos expansão em série de Taylor de
perto de
:
. Subtraindo 1 e dividindo por
obtemos
Passo 3
Passo 4
Como a função de (A) depende só de
, podemos também usar coordenadas polares e ver que o resultado não depende de ângulo, garantindo existência do limite e justificando o uso de coordenadas polares.
Passo 5
Concluímos que o limite (A) existe e vale
.
Passo 6
Para o limite (B), aplicamos caminhos do tipo
:
Passo 7
Passo 8
Como esse valor depende de
, o limite (B) não é único e portanto não existe.
Passo 9
Testando as afirmações: (1) F, (2) F, (3) V, (4) V, (5) F, (6) V.
Resposta
F, F, V, V, F, V