Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta. Dados os limites
(A) lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2
The toll
(B) lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2
podemos afirmar que:
( ) Ambos os limites, (A) e (B), existem.
( ) Ambos os limites, (A) e (B), não existem.
( ) O limite (A) pode ser calculado por coordenadas polares.
( ) O limite (A) vale -1 .
( ) O limite (B) vale 1 / 4 e é encontrado por caminhos.
( ) O limite (A) existe e o limite (B) nāo existe.

Passo 1

O exercício é sobre limites de funções de duas variáveis em (0,0): o limite (A) envolve a expressão e^-x^2-y^2-1x^2+y^2 e o limite (B) envolve x y cos y3x^2+y^2. Precisamos verificar existência de cada limite e calcular quando existir.

Passo 2

Para o limite (A), usamos expansão em série de Taylor de e^-r^2 perto de r=0: e^-r^2=1-r^2+o(r^2). Subtraindo 1 e dividindo por r^2 obtemos

Passo 3

limrto0e^-r^2-1r^2 = limrto0-r^2+o(r^2)r^2 = -1

Passo 4

Como a função de (A) depende só de r=raizx^2+y^2, podemos também usar coordenadas polares e ver que o resultado não depende de ângulo, garantindo existência do limite e justificando o uso de coordenadas polares.

Passo 5

Concluímos que o limite (A) existe e vale -1.

Passo 6

Para o limite (B), aplicamos caminhos do tipo y=mx:

Passo 7

x,(m x)cos(m x)3x^2+(m x)^2 = m,x^2cos(m x)(3+m^2)x^2 to m3+m^2 (xto0)

Passo 8

Como esse valor depende de m, o limite (B) não é único e portanto não existe.

Passo 9

Testando as afirmações: (1) F, (2) F, (3) V, (4) V, (5) F, (6) V.

Resposta

F, F, V, V, F, V

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