Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
d yd x+y-2 cos x=0 ; y=sen x+cos x-e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y = sin x + cos x - e^-x
é solução da equação diferencial
dydx + y - 2cos x = 0
O conteúdo aqui é substituição direta: calcular dy/dx e mostrar que, ao inserir em dydx+y-2cos x, obtemos zero.

Passo 2

Calcular a derivada de y.
Como y=sin x+cos x-e^-x, temos
dydx = cos x - sin x + e^-x

Passo 3

Substituir dydx e y na equação diferencial:
dydx + y - 2cos x = (cos x - sin x + e^-x) + (sin x + cos x - e^-x) - 2cos x

Passo 4

Agrupando termos semelhantes:
  • Termos em cos x: cos x + cos x - 2cos x = 0.
  • Termos em sin x: -sin x + sin x = 0.
  • Termos em e^-x: +e^-x-e^-x=0.
    Logo o somatório é zero, isto é,
dydx+y-2cos x = 0

Resposta

A função y=sin x+cos x-e^-x satisfaz a equação diferencial dada.

Exercícios relacionados