Prove que lim x +infty x^2-a=+infty. Sugestão: lim x +infty f(x)=+infty, para todo N>0 existe um M>0 tal que se x>M então f(x)>N. (Valor: 10 pontos).

Passo 1

O enunciado pede para provar que limxto+infty(x^2 - a)=+infty. O conteúdo é limites de funções que divergem para +\infty, e vamos usar a definição formal: para todo N>0 existe M>0 tal que, se x>M, então f(x)>N.

Passo 2

Definição formal: dizemos que limxto+inftyf(x)=+infty se, para todo N>0, existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos f(x)>N.

Passo 3

Começando a prova: seja dado N>0. Queremos escolher M>0 de modo que, se x>M, então x^2-a> N.

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade: x^2 - a > Nequivale a x^2 > N + aComo x^2 cresce em [0,+infty), basta garantir x^2> N+a.

Passo 5

Escolha de : note que, se , então qualquer vale, pois nessa faixa . Se , definimos . De modo unificado, podemos tomar temos logo , cumprindo a definição.)

Passo 6

Concluímos que, para todo N>0 existe M>0 (escolhido acima) tal que, se x>M, então x^2-a> N. Portanto, pela definição, limxto+infty(x^2-a)=+infty.

Resposta

limxto+infty(x^2 - a)=+infty.

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