Prove que
. Sugestão:
, para todo
existe um
tal que se
então
. (Valor: 10 pontos).
Passo 1
O enunciado pede para provar que
. O conteúdo é limites de funções que divergem para +\infty, e vamos usar a definição formal: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Definição formal: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Passo 3
Começando a prova: seja dado
. Queremos escolher
de modo que, se
, então
.
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade:
equivale a
Como
cresce em
, basta garantir
.
Passo 5
Escolha de
: note que, se
, então qualquer
vale, pois nessa faixa
. Se
, definimos
. De modo unificado, podemos tomar temos
logo
, cumprindo a definição.)
Passo 6
Concluímos que, para todo
existe
(escolhido acima) tal que, se
, então
. Portanto, pela definição,
.