Marque verdadeiro ou falso e justifique.
Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn divergem, então sumn=1^infty(an+bn) diverge.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pergunta se, se duas séries infinitas, sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn, não dão certo (ou seja, divergem), a soma delas, sumn=1^infty (an + bn), também não vai dar certo. A gente vai usar conhecimentos sobre séries infinitas e suas propriedades de convergência e divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir. Quando dizemos que sumn=1^infty an diverge, quer dizer que a soma dos termos an não se aproxima de um número finito, ela cresce sem parar ou oscila sem se estabilizar.

Passo 3

Agora, queremos ver se a soma de duas séries que divergem também diverge. Será que sempre que duas séries não funcionam, a soma delas também não vai funcionar?

Passo 4

Vamos pensar num exemplo para testar isso. Suponha que an = 1n e bn = -1n. Sabemos que sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que diverge. A mesma coisa acontece com sumn=1^infty -1n, que também diverge porque é só a série harmônica multiplicada por -1.

Passo 5

Agora, vamos somar essas duas séries: an + bn = 1n - 1n = 0. Então, a série sumn=1^infty (an + bn) é basicamente sumn=1^infty 0, que claramente converge para 0, já que a soma de zeros é sempre zero.

Resposta

Falso. Mesmo que sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn diverjam, a soma sumn=1^infty (an + bn) pode convergir.

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