Questae 1 (valor: 2,0). Use transformada de Fourier, frações parciaís e convolução para encontrar uma soluçao particular para a seguinte equação diferencial ordináría:
y^{\prime \prime}-y=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular de
y''-y=\sin t
usando transformada de Fourier, frações parciais e convolução. Vamos aplicar a transformada no tempo, resolver em frequência, usar frações parciais para obter a resposta ao impulso e então voltar ao domínio do tempo por convolução.

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier (convenção \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omegat}dt), obtemos
\mathcal{F}\{y''\}(\omega)-\mathcal{F}\{y\}(\omega) =\bigl(-\omega^2-1\bigr)Y(\omega)
e
\mathcal{F}\{\sin t\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\sin t\,e^{-i\omegat}dt =\frac{\pi}{i}\bigl[\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr].
Logo a equação em frequência é
(-\omega^2-1)\,Y(\omega) =\frac{\pi}{i}\bigl[\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr].

Passo 3

Isolando Y(\omega) surge a função de transferência
Y(\omega) =\underbrace{\frac{1}{-\omega^2-1}}_{G(\omega)}\; \frac{\pi}{i}\bigl[\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr] ,\quad G(\omega)=-\frac{1}{\omega^2+1}.
Para inverter G(\omega) via frações parciais escrevemos
-\frac{1}{\omega^2+1} =-\frac{1}{2i}\Bigl(\frac{1}{\omega-i}-\frac{1}{\omega+i}\Bigr).
Cada termo corresponde a um transformado inverso exponencial, levando à resposta ao impulso
h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{G(\omega)\}(t) =-\tfrac12e^{-|t|}.

Passo 4

No domínio do tempo a solução particular é a convolução de h com \sin t:
y_p(t) =(h*\sin)(t) =-\tfrac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-s|}\sin s\,ds.

Passo 5

Para avaliar
\displaystyle -\tfrac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-s|}\sin s\,ds
separa-se em duas integrais em s<t e s>t. O cálculo leva a
y_p(t)=-\tfrac12\sin t,
o que satisfaz \,y_p''-y_p=\sin t.

Resposta

y_p(t)=-\tfrac12\sin t.

Exercícios relacionados