Questäo 2 (valor: 2,0 ). Calcule, a partir da definição, a transformada de Laplace da função y(t)=\operatorname{cosh} (k t)

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace Y(s) de
y(t)=\operatorname{cosh}(k t)
a partir da definição
Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh}(k t)\,dt.
O conteúdo é transformada de Laplace e precisaremos usar a identidade de \operatorname{cosh} e a fórmula de integral imprópria de exponenciais.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{cosh}(k t)=\frac{e^{k t}+e^{-k t}}{2},
para reescrever a integral em termos de exponenciais simples.

Passo 3

Substituindo na definição, fica
Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh}(k t)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-st}e^{k t}+e^{-st}e^{-k t}\bigr)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-(s-k)t}+e^{-(s+k)t}\bigr)\,dt.

Passo 4

Para cada termo usamos que, se \Re(a)>0,
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.
Aqui precisamos de \Re(s-k)>0 e \Re(s+k)>0, ou seja \Re(s)>|k|.

Passo 5

Aplicando essa fórmula em cada parte, obtemos
Y(s)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-k}+\frac{1}{s+k}\Bigr), \quad \Re(s)>|k|.

Passo 6

Somando as frações:
\frac{1}{s-k}+\frac{1}{s+k} =\frac{(s+k)+(s-k)}{(s-k)(s+k)} =\frac{2s}{s^2-k^2},
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Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^2-k^2} =\frac{s}{s^2-k^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(k t)\}(s)=\frac{s}{s^2-k^2},\quad \Re(s)>|k|.

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