Um martelo tem massa de 645 g no vácuo e 419 g quando imerso em água (massa aparente). Qual é a massa do cabo de madeira do martelo? [dados: \rho_{\text {aço }}=7,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}ç, \rho_{\text {madeira }}=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{\text {água }}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}á ]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa total do martelo no vácuo: 645\\ \mathrm{g}.
  • Massa aparente do martelo quando imerso em água: 419\\ \mathrm{g}.
  • Densidades fornecidas:
    \rho_{\text{aço}}=7,8\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3ç,
    \rho_{\text{madeira}}=900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
    \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3á.
  • Pergunta: Qual é a massa do cabo de madeira do martelo? (ou seja, a massa da madeira que compõe o cabo).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicadinho): princípio de Arquimedes e massa aparente.
  • Arquimedes diz que um corpo imerso num fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado.
  • Se trabalhamos em termos de massas (dividindo forças por g), a relação entre massa real m, massa aparente m_{\text{ap}} e massa do fluido deslocado m_{\text{fluido}} é
m_{\text{ap}} = m - m_{\text{fluido}}.
Aqui:
  • m é a massa real do objeto (no vácuo),
  • m_{\text{ap}} é a massa aparente quando imerso,
  • m_{\text{fluido}} é a massa do fluido deslocado (igual à densidade do fluido vezes o volume deslocado).
  • Em palavras: a diferença entre a massa real e a aparente é exatamente a massa de água que o objeto desloca.

Passo 3

Aplicando ao problema: calcular a massa de água deslocada.
  • A diferença entre a massa no vácuo e a massa aparente é
m_{\text{água deslocada}} = 645\\ \mathrm{g} - 419\\ \mathrm{g} = 226\\ \mathrm{g}.á
  • Como \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3á, isso significa que o volume total do martelo é
V_{\text{total}} = \frac{m_{\text{água deslocada}}}{\rho_{\text{água}}} = \frac{226\\ \mathrm{g}}{1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3} = 226\\ \mathrm{cm}^3.áá
Ou seja, o martelo desloca 226\\ \mathrm{cm}^3 de água.

Passo 4

Preparar as equações relacionando massas, volumes e densidades.
  • Seja m_w a massa do cabo de madeira (que queremos).
  • Então a massa da parte de aço (cabeça) é m_{\text{aço}} = 645\\ \mathrm{g} - m_wç.
  • Volume da madeira:
V_{\text{madeira}}=\frac{m_w}{\rho_{\text{madeira}}}.
  • Volume do aço:
V_{\text{aço}}=\frac{m_{\text{aço}}}{\rho_{\text{aço}}}=\frac{645 - m_w}{\rho_{\text{aço}}}.çççç
  • A soma dos volumes deve dar o volume total 226\\ \mathrm{cm}^3:
V_{\text{aço}} + V_{\text{madeira}} = 226\\ \mathrm{cm}^3.ç

Passo 5

Converter a densidade da madeira para unidades compatíveis e escrever a equação numérica.
  • \rho_{\text{madeira}}=900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Para ficar em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3:
    lembrando que 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, então
\rho_{\text{madeira}} = 900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 0{,}9\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Já temos \rho_{\text{aço}}=7{,}8\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3ç e \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3á.
  • A equação dos volumes fica:
\frac{645 - m_w}{7{,}8} + \frac{m_w}{0{,}9} = 226,
onde as massas estão em gramas e os volumes resultam em \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Resolver a equação passo a passo.
  • Primeiro expando e recolho termos em m_w:
\frac{645}{7{,}8} - \frac{m_w}{7{,}8} + \frac{m_w}{0{,}9} = 226.
  • Calculo \frac{645}{7{,}8}. Uma forma exata:
\frac{645}{7{,}8}=\frac{6450}{78}=\frac{1075}{13}\approx 82{,}6923077.
  • Agrupo os termos com m_w:
-\frac{1}{7{,}8}m_w + \frac{1}{0{,}9}m_w = \Bigl(\frac{1}{0{,}9}-\frac{1}{7{,}8}\Bigr)m_w.
  • Calculo a diferença das frações de densidade:
\frac{1}{0{,}9}-\frac{1}{7{,}8} = \frac{10}{9}-\frac{5}{39} = \frac{115}{117}.
  • Assim a equação torna-se
\frac{1075}{13} + \frac{115}{117}m_w = 226.
  • Subtraio \frac{1075}{13} dos dois lados:
\frac{115}{117}m_w = 226 - \frac{1075}{13} = \frac{1863}{13}.
  • Isolo m_w:
m_w = \frac{1863}{13} \cdot \frac{117}{115} = \frac{16767}{115} = 145{,}8\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar confiante e você também):
  • Massa do aço: m_{\text{aço}}=645 - 145{,}8 = 499{,}2\\ \mathrm{g}ç.
  • Volume da madeira: V_{\text{madeira}}=\dfrac{145{,}8}{0{,}9}=162{,}0\\ \mathrm{cm}^3.
  • Volume do aço: V_{\text{aço}}=\dfrac{499{,}2}{7{,}8}=64{,}0\\ \mathrm{cm}^3ç.
  • Soma dos volumes: 162{,}0 + 64{,}0 = 226{,}0\\ \mathrm{cm}^3, que bate com o volume obtido pelo empuxo. Tudo consistente!

Resposta

145{,}8\\ \mathrm{g}

Exercícios relacionados