Um martelo tem massa de 645 g no vácuo e 419 g quando imerso em água (massa aparente). Qual é a massa do cabo de madeira do martelo? [dados:
,
]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Massa total do martelo no vácuo:
. - Massa aparente do martelo quando imerso em água:
. - Densidades fornecidas:
,
,
. - Pergunta: Qual é a massa do cabo de madeira do martelo? (ou seja, a massa da madeira que compõe o cabo).
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicadinho): princípio de Arquimedes e massa aparente.
- Arquimedes diz que um corpo imerso num fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado.
- Se trabalhamos em termos de massas (dividindo forças por
), a relação entre massa real , massa aparente e massa do fluido deslocado é
Aqui:
-
é a massa real do objeto (no vácuo), -
é a massa aparente quando imerso, -
é a massa do fluido deslocado (igual à densidade do fluido vezes o volume deslocado). - Em palavras: a diferença entre a massa real e a aparente é exatamente a massa de água que o objeto desloca.
Passo 3
Aplicando ao problema: calcular a massa de água deslocada.
- A diferença entre a massa no vácuo e a massa aparente é
- Como
, isso significa que o volume total do martelo é
Ou seja, o martelo desloca
de água.
Passo 4
Preparar as equações relacionando massas, volumes e densidades.
- Seja
a massa do cabo de madeira (que queremos). - Então a massa da parte de aço (cabeça) é
. - Volume da madeira:
- Volume do aço:
- A soma dos volumes deve dar o volume total
:
Passo 5
Converter a densidade da madeira para unidades compatíveis e escrever a equação numérica.
-
. Para ficar em :
lembrando que, então
- Já temos
e . - A equação dos volumes fica:
onde as massas estão em gramas e os volumes resultam em
.
Passo 6
Resolver a equação passo a passo.
- Primeiro expando e recolho termos em
:
- Calculo
. Uma forma exata:
- Agrupo os termos com
:
- Calculo a diferença das frações de densidade:
- Assim a equação torna-se
- Subtraio
dos dois lados:
- Isolo
:
Passo 7
Verificação rápida (para me deixar confiante e você também):
- Massa do aço:
. - Volume da madeira:
. - Volume do aço:
. - Soma dos volumes:
, que bate com o volume obtido pelo empuxo. Tudo consistente!