Uma massa de 10 libras distende uma mola em
pé. Essa massa é removida e substituída por outra com 1,6 slug, a qual é inicialmente solta de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de
pés/s para baixo.
a) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’)
c) Em que instantes a massa atinge um deslocamento abaixo da posição de equilíbrio numericamente igual a
da amplitude?
a) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’)
c) Em que instantes a massa atinge um deslocamento abaixo da posição de equilíbrio numericamente igual a
Passo 1
O problema dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados fornecidos:
- Uma massa de
libras estica a mola pé (essa informação vale para achar a constante da mola). - Essa massa é removida e colocada outra de massa
slug (essa é a massa que vai oscilar). - A nova massa é solta de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio (ou seja, deslocamento inicial em relação ao equilíbrio) com velocidade pés/s para baixo. - Observação sobre sinal: “acima” significa oposto a “abaixo”; vou tomar deslocamento positivo para baixo (isso deixa a velocidade inicial para baixo como positiva e a posição inicial acima como negativa).
O que o enunciado pede:
a) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).
c) Encontre os instantes em que a massa atinge um deslocamento abaixo da posição de equilíbrio numericamente igual a metade da amplitude.
a) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).
c) Encontre os instantes em que a massa atinge um deslocamento abaixo da posição de equilíbrio numericamente igual a metade da amplitude.
Não vou resolver ainda; só organizei os dados e as perguntas.
Passo 2
Achar a constante da mola
usando a informação com a massa de
libras.
Explicação rápida (Hooke): em equilíbrio a força peso é equilibrada pela força da mola, isto é
. Aqui o peso é
libras-força e a extensão
é
pé. Portanto
Daí
Logo a constante da mola é
(unidades: libras-força por pé, compatível com slugs e pés no sistema usado).
Passo 3
Montar a equação diferencial do movimento e achar a frequência angular.
A equação para um oscilador livre sem amortecimento é
onde
é a massa (em slugs),
a constante da mola (em lbf/ft) e
o deslocamento (positivo para baixo). Substituindo
e
obtemos
Dividindo por
para a forma padrão,
Calculemos a razão:
Portanto a equação simplifica-se para
Isto é da forma
com
Passo 4
Escrever a solução geral na forma (6). (Aqui dou a forma geral conhecida para solução da equação homogênea acima.)
A solução geral de
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Substituindo
temos a forma pedida em (6):
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para achar
e
.
Condições iniciais (do enunciado):
- Posição inicial: a massa é solta
pé acima do equilíbrio. Como escolhemos positivo para baixo, isso é pé. - Velocidade inicial:
pés/s para baixo, ou seja pés/s.
Usamos
. Então
Derivando
:
Em
,
Logo
Passo 6
Escrever a solução final na forma (6) com os valores encontrados — resposta do item (a).
Substituindo
e
na solução geral,
Isso resolve a parte (a).
Passo 7
Passar para a forma amplitude-fase (forma (6’)). Explico como e por quê.
A forma trigonométrica equivalente (a forma (6’)) é
onde
é a amplitude e
é a fase. Explicação: expandindo
vemos que os coeficientes devem satisfazer
Logo
e
podem ser obtidos por:
(a função
dá o ângulo correto no quadrante certo).
Calcule
:
Calcule
via razões:
Portanto
está no segundo quadrante (cosseno negativo, seno positivo) e
(ou equivalentemente
.)
Assim a forma pedida em (6’) é
com
e
rad.
Passo 8
Resolver o item (c): encontrar instantes em que o deslocamento abaixo da posição de equilíbrio é numericamente igual a metade da amplitude.
Primeiro interpretando a frase: “deslocamento abaixo da posição de equilíbrio numericamente igual a
da amplitude” significa que queremos
(positivo porque abaixo do equilíbrio foi tomado positivo). Usaremos a forma amplitude-fase porque facilita.
Usando
e pedindo
, obtemos
As soluções gerais para
são
Substituindo
dá
Assim a fórmula geral para os instantes é
Para
podemos tomar
. Os dois instantes mais próximos do início (com
) são
Substituindo numericamente
e
obtemos
E a solução geral (todos os instantes) é dada pela fórmula com
dada acima.
Resposta
(a)
(b)
, com
e
(c)
Em particular, os dois primeiros instantes positivos são
e
.