Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm / s^2. Se o sistema é colocado em movimento com uma força externa de 9600 cos (6 t) dinas, determine a posição da massa como função do tempo.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola sem amortecimento, com massa m=100,g que estica a mola em De<a L=10,cm sob o peso mg. Há uma força externa F(t)=9600cos(6t) dyn e a gravidade vale g=10^3,cm/s ^2. Precisamos (1) determinar a constante elástica k a partir do equilíbrio estático, (2) montar a equação diferencial de movimento, (3) achar a solução geral (homogênea + particular) e (4) aplicar as condições iniciais supondo que a massa parte do repouso na posição de equilíbrio:
x(0)=0, x'(0)=0

Passo 2

Em equilíbrio estático o peso equilibra a força elástica:
k,De<a L = m,g
Substituindo m=100,g, g=10^3,cm/s ^2 e De<a L=10,cm:
k = 100cdot10^310 = 10^4dyn/cm
Logo a razão k/m é
km = 10^4100 = 100s^-2

Passo 3

A equação de movimento sem amortecimento é
m,x'' + k,x = F(t)
Dividindo por m, fica
x'' + gl(kmgr)x = F(t)m Longrightarrow x'' + 100,x = 9600100cos(6t) = 96cos(6t)

Passo 4

A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t)
Para a homogênea xh''+100xh=0, temos
xh(t) = C1cos(10t) + C2sin(10t)
Para a particular, use xp(t)=Acos(6t). Substituindo em x''+100x=96cos6t:
(-36 +100),Acos(6t) = 96cos(6t) Longrightarrow 64A = 96 Longrightarrow A = 1,5
Logo
xp(t) = 1,5cos(6t)

Passo 5

Impondo x(0)=0 e x'(0)=0:
x(0)=C1 + 1,5 = 0 Longrightarrow C1 = -1,5,
x'(t) = -10C1sin(10t) +10C2cos(10t) -9sin(6t),
x'(0)=10C2 = 0 Longrightarrow C2 = 0
Portanto
x(t) = -1,5cos(10t) + 1,5cos(6t) = 1,5l(cos(6t) - cos(10t)r)

Resposta

x(t) = 1,5l(cos(6t) - cos(10t)r)(em cm)

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