Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial y(2)=0, dê a expressão da solução e seu intervalo máximo de definição, isto é, determine para quais valores de x a solução está definida.
y^prime=-x-22(y-1)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = -x-22(y-1), y(2)=0
Queremos encontrar a expressão de y(x) e o maior intervalo em que ela existe. Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1),dx:
2(y-1),dy = -(x-2),dx
Agora integramos os dois lados:
integral 2(y-1),dy = integral -(x-2),dx

Passo 3

Calculando as integrais, obtemos
y^2 - 2y = -x^22 + 2x + C
Para achar C, usamos y(2)=0:
0^2 - 2cdot0 = -2^22 +2cdot2 + C ;Longrightarrow;0 = -2 +4 + C ;Longrightarrow;C = -2
Assim
y^2 - 2y = -x^22 + 2x - 2

Passo 4

Completamos o quadrado no lado esquerdo:
y^2 -2y +1 = (y-1)^2,
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(y-1)^2 = -x^22 +2x -2 +1 = -x^22 +2x -1 =1 - (x-2)^22
Como em x=2 temos y-1=-1, escolhemos o ramo negativo da raiz:
y(x) = 1 - raiz,1 - (x-2)^22,

Passo 5

Para que a solução exista e o denominador original y-1 não zere, precisamos de
1 - (x-2)^22 > 0 Longrightarrow (x-2)^2 < 2 Longrightarrow 2-raiz2 < x < 2+raiz2
Esse é o intervalo máximo de definição do problema de valor inicial.

Resposta

y(x) = 1 - raiz,1 - (x-2)^22,, x in l(2-raiz2,,2+raiz2r)

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