Seja Q(t) a massa em gramas de um determinado material em cada instante t (em minutos). Sabe-se que a função Q(t) satisfaz a seguinte equação diferencial
d Qd t=-k Q
onde k é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu 5 % do seu valor inicial.
Resolva o problema de valor inicial para Q(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dQdt = -k,Q,
sujeita à condição inicial Q(0)=40 e à observação de que, em t=15 minutos, a massa decaiu 5 % do valor inicial, isto é,
Q(15)=0,95cdot 40=38
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial separável e ajuste da constante de decaimento k.

Passo 2

Separamos variáveis:
dQQ = -k,dt
Integrando ambos os lados,
integral dQQ = integral -k,dt ;Longrightarrow; lnl|Qr| = -k,t + C
Exponentiando, obtemos a solução geral
Q(t) = A,e^-k t,
onde A=e^C.

Passo 3

Usamos Q(0)=40. Substituindo em Q(t)=A e^-k t com t=0,
Q(0)=A,e^0 = A = 40
Logo a solução particular é
Q(t)=40,e^-k t

Passo 4

Agora impomos Q(15)=38. Da fórmula
40,e^-15k=38 ;Longrightarrow; e^-15k=3840=0,95 ;Longrightarrow; -15k = ln(0,95) ;Longrightarrow; k = -115ln(0,95)

Passo 5

Substituindo k de volta em Q(t)=40,e^-k t, temos
Q(t) =40,exp!l(-l(-tfrac115ln(0,95)r),tr) =40,exp!l(tfracln(0,95)15,tr) =40,(0,95)^tfract15

Resposta

Q(t)=40,(0,95)^tfract15, k=-115ln(0,95)

Exercícios relacionados