4.1 Uma massa de 2,27 \mathrm{~kg} é liberada quando ela está exatamente em contato com uma mola, de constante elástica de 365 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}, que está fixa no solo. Qual é a máxima compressão da mola? Compare esse valor à deflexão da mola se a massa estivesse apenas em repouso sobre ela. Qual seria a máxima compressão da mola se a massa fosse liberada de uma distância de 1,5 \mathrm{~m} acima do topo da mola?

Passo 1

O enunciado dá uma massa m=2,27\mathrm{~kg} que é liberada em contato com uma mola fixa de constante elástica k=365\,\mathrm{kg/s^2}. Precisamos de dois conteúdos principais: conservação de energia mecânica para achar a compressão máxima dinâmica e equilíbrio de forças (estático) para a deflexão sob repouso. No último item, voltamos à conservação de energia incluindo uma altura inicial de h=1,5\mathrm{~m} acima da mola.

Passo 2

Para a compressão máxima quando a massa parte do repouso em x=0, a energia potencial gravitacional cedida ao descer é totalmente armazenada na mola. Montamos
m g x = \tfrac12 k x^2
que leva a
\tfrac12 k x^2 - m g x = 0 \quad\Rightarrow\quad x\bigl(\tfrac12 k x - m g\bigr)=0
daí, descartando a solução trivial x=0,
x = \frac{2m g}{k} = \frac{2\cdot2,27\cdot9,8}{365} \approx0,122\mathrm{~m}.

Passo 3

Na situação estática, a mola deflete até equilibrar o peso:
k\,\delta = m g \quad\Rightarrow\quad \delta = \frac{m g}{k} = \frac{2,27\cdot9,8}{365} \approx0,061\mathrm{~m}.
Comparação: a compressão dinâmica máxima 0,122\mathrm{~m} é o dobro da deflexão estática 0,061\mathrm{~m}.

Passo 4

Se a massa é solta de uma altura h=1,5\mathrm{~m} acima do topo da mola, a energia liberada ao final da descida (h+x) vai toda para a mola:
m g\,(h+x)=\tfrac12 k x^2.
Reescrevendo em forma quadrática:
\tfrac12 k x^2 - m g x - m g h = 0
e usando a fórmula de Bhaskara para x>0,
x = \frac{m g + \sqrt{(m g)^2 + 2 k m g h}}{k} = \frac{2,27\cdot9,8 + \sqrt{(2,27\cdot9,8)^2 + 2\cdot365\cdot2,27\cdot9,8\cdot1,5}}{365} \approx0,493\mathrm{~m}.

Resposta

A compressão máxima partindo em contato com a mola é 0,122\mathrm{~m}.
A deflexão estática é 0,061\mathrm{~m}.
Se solta de 1,5\mathrm{~m} acima do topo, a compressão máxima é 0,493\mathrm{~m}.

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