Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I=\mathbb{Z}, A=\mathbb{Q};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se I=\mathbb{Z} é um ideal do anel A=\mathbb{Q}. Lembrando a definição, um subconjunto I de um anel A é ideal se e somente se
  1. I é subgrupo de (A,+).
  2. Para todo a\in A e todo i\in I vale a\cdot i\in I (e, em anéis comutativos, basta esta condição).

Passo 2

Verificamos primeiro a condição de subgrupo de (\mathbb{Q},+).
  • A soma de dois inteiros é inteiro, e o inverso aditivo de um inteiro é inteiro.
  • O elemento neutro 0 de \mathbb{Q} está em \mathbb{Z}.
    Logo, \mathbb{Z} é subgrupo de (\mathbb{Q},+).

Passo 3

Agora testamos a condição de absorção pela multiplicação por elementos de \mathbb{Q}. Seja, por exemplo,
a = \tfrac12\in\mathbb{Q}, \quad i = 1\in\mathbb{Z}.
Então
a\cdot i = \tfrac12 \cdot 1 = \tfrac12,
mas \tfrac12\notin\mathbb{Z}. Portanto não se conserva a multiplicação por qualquer elemento de \mathbb{Q}.

Resposta

\mathbb{Z} não é ideal de \mathbb{Q}.

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