Uma massa de ar, em escoamento completamente desenvolvido, entra num tubo de diâmetro interno 1 cm à 27^{\circ} \mathrm{C} com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma resistência elétrica é enrolada nos 20 cm de tubo fornecendo um fluxo de calor constante, de modo que o ar sai à temperatura média de 40^{\circ} \mathrm{C}.
a) Que potência de entrada deverá fornecida?
b) Qual a temperatura da parede do tubo na saída?

Passo 1

O problema trata de ar que entra num tubo de diâmetro interno \,D=0{,}01\rm \;m à T_{\rm in}=27^\circ\rm C com velocidade V=2\rm \;m/s, sofre aquecimento por resistência elétrica ao longo de L=0{,}20\rm \;m e sai a T_{\rm out}=40^\circ\rm C. Queremos (a) a potência elétrica P necessária e (b) a temperatura da parede interna na saída, T_{w,\rm out}. Vamos usar: balanço de energia ( P=\dot m\,c_p\Delta T ), propriedades médias do ar, e correlação de Nusselt para escoamento totalmente desenvolvido, laminar, com fluxo de calor uniforme ( \mathrm{Nu}=4{,}36).

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot m e a potência P.
Usamos temperatura média do escoamento
T_{\rm m}=\frac{T_{\rm in}+T_{\rm out}}{2}=\frac{27+40}{2}=33{,}5^\circ\rm C=306{,}5\;K.
Densidade média
\rho=\frac{p}{R\,T_{\rm m}} =\frac{101325}{287\cdot306{,}5} \approx1{,}15\;\mathrm{kg/m^3}.
Área da seção
A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi\,(0{,}01)^2}{4} \approx7{,}85\times10^{-5}\;\mathrm{m^2}.
Vazão mássica
\dot m=\rho\,A\,V =1{,}15\;\cdot7{,}85\times10^{-5}\;\cdot2 \approx1{,}81\times10^{-4}\;\mathrm{kg/s}.
Usando c_p\approx1007\;\mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T=40-27=13\;K,
P=\dot m\,c_p\,\Delta T \approx1{,}81\times10^{-4}\;\cdot1007\;\cdot13 \approx2{,}36\;\mathrm{W}.

Passo 3

Determinar o coeficiente de convecção h.
Reynolds médio
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,D}{\mu} \approx\frac{1{,}15\cdot2\cdot0{,}01}{1{,}85\times10^{-5}} \approx1243,
logo escoamento laminar e totalmente desenvolvido. Para fluxo de calor constante em parede interna
\mathrm{Nu}=4{,}36,
h=\frac{\mathrm{Nu}\;k}{D} =\frac{4{,}36\;\cdot0{,}0263}{0{,}01} \approx11{,}5\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Densidade de fluxo de calor interno
q''=\frac{P}{\pi\,D\,L} =\frac{2{,}36}{\pi\cdot0{,}01\cdot0{,}20} \approx376\;\mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Calcular a temperatura da parede interna na saída:
q''=h\,(T_{w,\rm out}-T_{\rm out}) \quad\Longrightarrow\quad T_{w,\rm out} =T_{\rm out}+\frac{q''}{h} =40^\circ\rm C+\frac{376}{11{,}5} \approx72{,}7^\circ\rm C.

Resposta

a) P\approx2{,}36\;\mathrm{W}.
b) T_{w,\rm out}\approx73^\circ\rm C.

Exercícios relacionados