Mostrar que a soma infinita sum 1raizn(n+1)(raizn+1+raizn) vale 1.
( Dica: Simplifique o termo geral da série para obter uma série telescópica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita sum 1raizn(n+1)(raizn+1+raizn) dá 1. Esse exercício envolve séries infinitas e uma técnica chamada série telescópica. Para resolver, vamos simplificar o termo geral da série e ver como os termos se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da soma: 1raizn(n+1)(raizn+1+raizn). Note que raizn(n+1) pode ser reescrito como raizn cdot raizn+1. Assim, temos:
1raizn cdot raizn+1 cdot (raizn+1 + raizn)

Passo 3

Agora, pra simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por (raizn+1 - raizn). Isso ajuda a eliminar a parte com raízes no denominador. Fazendo isso, fica:
(raizn+1 - raizn)raizn cdot raizn+1 cdot (raizn+1 + raizn) cdot (raizn+1 - raizn)

Passo 4

No denominador, temos uma expressão do tipo (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. Aplicando isso, a gente tem:
(raizn+1 + raizn)(raizn+1 - raizn) = (n+1) - n = 1
Então, o denominador simplifica para raizn cdot raizn+1 cdot 1 = raizn(n+1).

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
raizn+1 - raiznraizn(n+1)
Mas raizn(n+1) = raizn cdot raizn+1, então podemos separar a fração:
raizn+1raizn cdot raizn+1 - raiznraizn cdot raizn+1 = 1raizn - 1raizn+1

Passo 6

Então, o termo geral da série ficou:
1raizn - 1raizn+1
Isso é ótimo porque agora temos uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar nas somas parciais.

Passo 7

Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
( 1raiz1 - 1raiz2 ) + ( 1raiz2 - 1raiz3 ) + ( 1raiz3 - 1raiz4 ) + dots
Aí, vemos que 1raiz2 cancela com -1raiz2, 1raiz3 cancela com -1raiz3, e assim por diante.

Passo 8

No final das contas, só sobra o primeiro termo da primeira expressão e o último termo tende a zero quando vamos até o infinito. Então, a soma total é:
1raiz1 = 1

Resposta

A soma infinita sum 1raizn(n+1)(raizn+1+raizn) vale 1.

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