Mostrar que a soma infinita
vale 1.
( Dica: Simplifique o termo geral da série para obter uma série telescópica)
( Dica: Simplifique o termo geral da série para obter uma série telescópica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita
dá 1. Esse exercício envolve séries infinitas e uma técnica chamada série telescópica. Para resolver, vamos simplificar o termo geral da série e ver como os termos se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da soma:
. Note que
pode ser reescrito como
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, pra simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
. Isso ajuda a eliminar a parte com raízes no denominador. Fazendo isso, fica:
Passo 4
No denominador, temos uma expressão do tipo
. Aplicando isso, a gente tem:
Então, o denominador simplifica para
.
Passo 5
Agora, nossa expressão fica:
Mas
, então podemos separar a fração:
Passo 6
Então, o termo geral da série ficou:
Isso é ótimo porque agora temos uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar nas somas parciais.
Passo 7
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Aí, vemos que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante.
Passo 8
No final das contas, só sobra o primeiro termo da primeira expressão e o último termo tende a zero quando vamos até o infinito. Então, a soma total é:
Resposta
A soma infinita
vale 1.