Um peso de 20 libras distende uma mola em 1 / 2 pé. O peso é solto do repouso 1 / 2 pé abaixo da posição de equilíbrio (use g=32 pés / s^2 ).
Qual será a velocidade do peso quando t=3 pi16. Qual será o sentido do movimento do peso nesse instante?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento em que um peso de 20 libras estica a mola em 1/2 pé. Soltamos o peso do repouso 1/2 pé abaixo da posição de equilíbrio e queremos a velocidade no instante t=3pi/16. O conteúdo aqui é a equação diferencial de movimento para sistema massa-mola livre:
m,x''+k,x=0
Vamos precisar de k (constante da mola), de m (massa) e das condições iniciais para achar x(t) e depois x'(t).

Passo 2

Calculamos a constante da mola k e a massa m. A força peso é mg=20 libras e produz deslocamento x0=1/2 pé, então
k=mgx0=201/2=40 lb/ft
Como m=g^-1times20 libras com g=32 pés/s ^2,
m=2032=58 slugs

Passo 3

A equação de movimento é
x''+km,x=0,
onde
km=405/8=64
Logo a pulsação omega é
omega=raiz64=8 (rad/s)

Passo 4

A solução geral é
x(t)=Acos(8t)+Bsin(8t)
Como soltamos do repouso 1/2 pé abaixo do equilíbrio e tomamos eixo positivo para baixo, temos
x(0)=tfrac12e x'(0)=0
Dessas condições segue A=tfrac12 e B=0. Portanto
x(t)=tfrac12cos(8t)

Passo 5

Derivando para obter a velocidade,
x'(t)=-tfrac12cdot8sin(8t)=-4sin(8t)

Passo 6

No instante t=3pi/16 temos 8t=8cdot3pi16=3pi2 e sin(3pi/2)=-1. Logo
x'l(tfrac3pi16r)=-4cdot(-1)=4 pés/s é

Passo 7

Como adotamos o sentido positivo para baixo, x'>0 significa que o peso está se movendo para baixo naquele instante.

Resposta

A velocidade é 4 pés/s e o peso está se movendo para baixo.

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