Um peso de
é conectado a uma mola de
de comprimento. No equilíbrio, a mola mede
. Se o peso for empurrado para cima e solto a partir do repouso em um ponto 4 m acima da posição de equilíbrio, determine o deslocamento
considerando que saiba que o meio ao redor oferece uma resistência numericamente igual a velocidade instantânea. E se o peso for empurrado para baixo e solto a partir do repouso em um ponto 4 m abaixo da posição de equilíbrio Classifique os tipos de movimento e represente a solução na forma alternativa.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de peso
N preso a uma mola. O comprimento natural da mola é
m e, no equilíbrio, mede
m. Há resistência viscosa cuja força é numericamente igual à velocidade instantânea. O conteúdo é movimento harmônico amortecido com amortecimento linear. Para resolver, vamos:
- Determinar a massa
e a constante elástica . - Montar a equação diferencial damped:
. - Resolver para as condições iniciais de
e nos dois casos (4 m acima e 4 m abaixo). - Classificar o tipo de movimento e apresentar a solução na forma alternativa.
Passo 2
Calculamos a massa a partir de
:
A deformação de equilíbrio é
m, logo da lei de Hooke
temos
A resistência tem coeficiente
(força igual numericamente à velocidade), de modo que a EDO é
ou, dividindo por
,
Passo 3
A equação característica é
com raízes
Como o discriminante é negativo, o movimento é subamortecido (underdamped). A solução geral é
Passo 4
Caso 1: bloco empurrado 4 m acima da posição de equilíbrio e solto do repouso. Tomando
,
, temos
Logo
Na forma alternativa
, com
fica
Passo 5
Caso 2: bloco empurrado 4 m abaixo da posição de equilíbrio e solto do repouso. Agora
,
, logo
Assim
O movimento continua subamortecido. Em forma alternativa, basta inverter o sinal do coeficiente inicial, por exemplo
Resposta
Caso 1 (4 m acima):
Caso 2 (4 m abaixo):
Em ambos os casos o movimento é subamortecido (underdamped).