Um peso de 4,9 N é conectado a uma mola de 7,22 m de comprimento. No equilíbrio, a mola mede 8,2 m. Se o peso for empurrado para cima e solto a partir do repouso em um ponto 4 m acima da posição de equilíbrio, determine o deslocamento x(t) considerando que saiba que o meio ao redor oferece uma resistência numericamente igual a velocidade instantânea. E se o peso for empurrado para baixo e solto a partir do repouso em um ponto 4 m abaixo da posição de equilíbrio Classifique os tipos de movimento e represente a solução na forma alternativa.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de peso 4,9 N preso a uma mola. O comprimento natural da mola é 7,22 m e, no equilíbrio, mede 8,2 m. Há resistência viscosa cuja força é numericamente igual à velocidade instantânea. O conteúdo é movimento harmônico amortecido com amortecimento linear. Para resolver, vamos:
  1. Determinar a massa m e a constante elástica k.
  2. Montar a equação diferencial damped: m x'' + b x' + k x =0.
  3. Resolver para as condições iniciais de x(0) e x'(0) nos dois casos (4 m acima e 4 m abaixo).
  4. Classificar o tipo de movimento e apresentar a solução na forma alternativa.

Passo 2

Calculamos a massa a partir de W=mg:
m = 4,99,8 = 0,5 kg
A deformação de equilíbrio é De<a L = 8,2 - 7,22 = 0,98 m, logo da lei de Hooke k,De<a L = W temos
k = 4,90,98 = 5 N/m
A resistência tem coeficiente b=1 (força igual numericamente à velocidade), de modo que a EDO é
0,5,x'' + 1,x' + 5,x = 0
ou, dividindo por 0,5,
x'' + 2,x' + 10,x = 0

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 2r + 10 = 0
com raízes
r = -1 pm 3,i
Como o discriminante é negativo, o movimento é subamortecido (underdamped). A solução geral é
x(t) = e^-tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r)

Passo 4

Caso 1: bloco empurrado 4 m acima da posição de equilíbrio e solto do repouso. Tomando x(0)=+4, x'(0)=0, temos
A = 4, -,A + 3,B = 0 implies B = tfrac43
Logo
x(t) = e^-tl(4cos(3t) + tfrac43sin(3t)r)
Na forma alternativa R e^-tcos(3t - varphi), com
R = raiz4^2 + l(tfrac43r)^2 = tfrac43raiz10, varphi = arctan!l(tfracBAr) = arctan!l(tfrac13r),
fica
x(t) = 43raiz10;e^-tcos!l(3t - arctan!tfrac13r)

Passo 5

Caso 2: bloco empurrado 4 m abaixo da posição de equilíbrio e solto do repouso. Agora x(0)=-4, x'(0)=0, logo
A = -4, -,A + 3,B = 0 implies B = -tfrac43
Assim
x(t) = e^-tl(-4cos(3t) - tfrac43sin(3t)r) = -,e^-tl(4cos(3t) + tfrac43sin(3t)r)
O movimento continua subamortecido. Em forma alternativa, basta inverter o sinal do coeficiente inicial, por exemplo
x(t) = -43raiz10;e^-tcos!l(3t - arctantfrac13r)

Resposta

Caso 1 (4 m acima):
x(t) = e^-tl(4cos(3t) + tfrac43sin(3t)r) = 43raiz10;e^-tcos!l(3t - arctantfrac13r)
Caso 2 (4 m abaixo):
x(t) = e^-tl(-4cos(3t) - tfrac43sin(3t)r) = -43raiz10;e^-tcos!l(3t - arctantfrac13r)
Em ambos os casos o movimento é subamortecido (underdamped).

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