Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Mostre que se
é impar, não existe transformação linear
tal que
. Além disso, mostre que a afirmação anterior é falsa se
é par.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
de dimensão finita
. A pergunta é para mostrar que, se
é ímpar, não existe uma transformação linear
tal que a imagem de
seja igual ao núcleo de
. Além disso, precisamos mostrar que essa afirmação não vale quando
é par.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, imagem (
), núcleo (
) e a relação entre as dimensões desses espaços. Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para nos ajudar nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e Imagem. Ele diz que, para uma transformação linear
, temos:
No nosso caso,
, então podemos reescrever como:
Passo 3
A questão quer que
. Vamos chamar
. Então, como
, também temos
.
Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem:
Passo 4
Então, temos:
Isso significa que
deve ser um número par, já que é igual a duas vezes algum inteiro
. Se
fosse ímpar, não haveria nenhum inteiro
que satisfaça essa equação, o que implica que não pode existir uma transformação linear
com
quando
é ímpar.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que quando
é par, tal transformação existe. Vamos construir um exemplo.
Considere que
. Podemos escolher uma base de
e definir
de forma que sua imagem e núcleo sejam subespaços de dimensão
. Por exemplo, podemos definir
como uma transformação que envia os primeiros
vetores da base para os últimos
vetores, e os últimos
vetores para zero.
Dessa forma, temos:
[
\operatorname{Im} T ) é um subespaço de dimensão , e
também é de dimensão
, e eles são iguais.
\operatorname{Im} T ) é um subespaço de dimensão
Resposta
Portanto, mostramos que se
é ímpar, não existe uma transformação linear
tal que
. Além disso, quando
é par, tal transformação
pode ser construída, provando que a afirmação é falsa nesse caso.