Quais das sequências
abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar quais convergem e quais divergem, além de encontrar o limite de cada sequência convergente. O conteúdo aqui é análise de limites de sequência e uso da propriedade de logaritmos
.
Passo 2
Usamos a propriedade de diferença de logaritmos para simplificar
:
Passo 3
Reescrevemos o quociente dentro do logaritmo de modo a ver seu comportamento quando
:
À medida que
, temos
e, portanto,
Passo 4
Como o logaritmo é uma função contínua, o limite da sequência é o logaritmo do limite do argumento:
Logo a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e