Quais das sequências a_{n} abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\ln (2 n)-\ln (n+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \ln(2n) - \ln(n+1)
e pede para determinar quais convergem e quais divergem, além de encontrar o limite de cada sequência convergente. O conteúdo aqui é análise de limites de sequência e uso da propriedade de logaritmos \ln A - \ln B = \ln\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr).

Passo 2

Usamos a propriedade de diferença de logaritmos para simplificar a_{n}:
a_{n} = \ln\bigl(2n\bigr) - \ln(n+1) = \ln\!\Bigl(\frac{2n}{n+1}\Bigr).

Passo 3

Reescrevemos o quociente dentro do logaritmo de modo a ver seu comportamento quando n\to\infty:
\frac{2n}{n+1} = 2 \,\frac{n}{n+1} = 2\,\frac{1}{1 + \tfrac{1}{n}}.
À medida que n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0 e, portanto,
\frac{2n}{n+1} \;\longrightarrow\; 2\,\frac{1}{1+0} = 2.

Passo 4

Como o logaritmo é uma função contínua, o limite da sequência é o logaritmo do limite do argumento:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\ln\!\Bigl(\frac{2n}{n+1}\Bigr) = \ln\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}\Bigr) = \ln(2).
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \ln(2).

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