Quais das sequências a_{n} abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\left(2-\frac{\operatorname{sen} n}{n^{2}}\right)\left(3+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\Bigl(2-\frac{\operatorname{sen}n}{n^{2}}\Bigr)\Bigl(3+\frac{1}{2^{n}}\Bigr)
e pede para identificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de sequências e o uso das propriedades de soma e produto de limites.

Passo 2

Analisamos primeiro a sequência
u_{n}=2-\frac{\operatorname{sen}n}{n^{2}}.
Como \operatorname{sen}n é limitado em [-1,1], temos
-\,\frac{1}{n^{2}}\le \frac{\operatorname{sen}n}{n^{2}}\le \frac{1}{n^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}n}{n^{2}}=0.
Logo,
\lim_{n\to\infty}u_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(2-\frac{\operatorname{sen}n}{n^{2}}\Bigr) =2-0=2.

Passo 3

Agora a segunda parte
v_{n}=3+\frac{1}{2^{n}}.
Sabendo que 2^{n}\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}v_{n}=3+0=3.

Passo 4

Como a_{n}=u_{n}\,v_{n} e ambos u_{n} e v_{n} convergem, vale que
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\Bigl(\lim_{n\to\infty}u_{n}\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{n\to\infty}v_{n}\Bigr) =2\cdot3=6.
Portanto, a_{n} converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 6.

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