Uma massa m está em um oscilador massa-mola-amortecedor que funciona em um regime de sub-amortecimento. Se a razão entre o n-ésimo máximo x_{n+1} e o primeiro máximo x_{1}, for 1 / a^{n}, com a>0 constante, escreva a constante de amortecimento c em função de m, a e \tau_{1}, se \tau_{1}, o período da oscilação amortecida for conhecido e que t_{2}=t_{1}+\tau_{1}, e t_{3}=t_{1}+2 \tau_{1}, etc. (Valor: 7,5 ptos)

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola–amortecedor em regime subamortecido, com massa m, coeficiente de amortecimento c e constante elástica k. Sabe-se que o período da oscilação amortecida é \tau_{1} e que a razão entre o (n+1)-ésimo máximo x_{n+1} e o primeiro máximo x_{1} é
\frac{x_{n+1}}{x_{1}}=\frac{1}{a^{n}},
com a>0. Queremos expressar c em função de m, a e \tau_{1}.

Passo 2

A solução geral no regime subamortecido é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos\bigl(\omega_{d}t+\varphi\bigr),
onde
\gamma=\frac{c}{2m} \quad\text{e}\quad \omega_{d}=\sqrt{\frac{k}{m}-\gamma^{2}}.
Os máximos ocorrem sempre que o cosseno vale \pm1, de modo que os instantes dos máximos se sucedem a intervalos \tau_{1}, isto é, t_{n+1}-t_{1}=n\,\tau_{1}.

Passo 3

A amplitude do n-ésimo máximo é dada pelo decaimento exponencial do envelope:
x_{n}=A\,e^{-\gamma t_{n}}.
Assim,
\frac{x_{n+1}}{x_{1}} =\frac{A\,e^{-\gamma t_{1}-\gamma n\tau_{1}}}{A\,e^{-\gamma t_{1}}} =e^{-\gamma n\tau_{1}} =\frac{1}{a^{n}}.
Para n=1 segue
e^{-\gamma \tau_{1}}=\frac{1}{a} \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{1}{\tau_{1}}\ln(a).

Passo 4

Como \gamma=c/(2m), temos
c=2m\,\gamma =2m\;\frac{1}{\tau_{1}}\ln(a).

Resposta

c=\frac{2m}{\tau_{1}}\;\ln\bigl(a\bigr).

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